1. SABC - пирамида, АВ = ВС = √5, АС = 4.
Пусть SO - высота пирамиды, тогда АО, ВО и СО - проекции боковых ребер на плоскость основания, а углы SAO, SBO и SCO - углы наклона боковых ребер к основанию и равны 45°. Тогда ΔSAO = ΔSBO = ΔSCO по катету (общий SO) и острому углу.
Значит АО = ВО = СО, значит О - центр описанной около АВС окружности.
Стоит запомнить: Если боковые ребра пирамиды равны или наклонены под одним углом к основанию, то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания.
Так как треугольник АВС равнобедренный, О лежит на высоте ВН, проведенной к основанию. ВН является и медианой: АН = 2.
ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора
ВН = √(АВ² - АН²) = √(5 - 4) = 1, ⇒
sin∠BAH = BH / AB = 1/√5
По следствию из теоремы синусов:
2R = BC / sin∠BAH = √5 / (1/√5) = 5
R = 5/2 = 2,5, т.е. ВО = 2,5
ΔSBO прямоугольный с углом 45°, значит равнобедренный:
SO = BO = 2,5
V = 1/3 Sосн · SO = 1/3 · (1/2 AC · BH) · SO
V = 1/3 · 1/2 · 4 · 1 · 2,5 = 5/3 куб. ед.
Так как ВО больше ВН, центр описанной около треугольника АВС окружности лежит вне треугольника. Чертеж пришлось уточнить.
2. Если боковые ребра пирамиды равны, то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания. О лежит на высоте ΔАВС, так как он равнобедренный.
ВН - высота и медиана, ⇒ АН = СН = АВ/2 = 3 см.
ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора
АВ = √(ВН² + АН²) = √(81 + 9) = √90 = 3√10 см.
sin∠BAH = BH/AB = 9/(3√10) = 3/√10
По следствию из теоремы синусов:
2R = BC / sin∠BAH = 3√10 / (3/√10) = 10
R = 10/2 = 5 см, т.е. ВО = 5 см
ΔSOB: ∠SOB = 90°, по теореме Пифагора
SO = √(SB² - BO²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см
V = 1/3 Sосн · SO = 1/3 · (1/2 AC · BH) · SO
V = 1/3 · 1/2 · 6 · 9 · 12 = 108 см³
60 см
Объяснение:
Дана прямоугольная трапеция, BC - малое основание,AD- большое основание, <A=<B = 90, <D = 30
Радиус вписанной окр-ти по т.Пифагора
r = √(13^2 - 12^2) = 5
Проведем из точки C к AD высоту CH = AB = 2r = 10
Тр-к CDH - прямоугольный
CD = CH/sin30 = 10/0,5 = 20
HD = CHcos30 = 5√3
BC = AH = x
AD = AH + HD = x + 5√3
p = P/2 = (BC + AB + CD + AD)/2 = (x + 10 + 20 + x + 5√3)/2 = x + 15 + 2,5√3
S = p*r = (x + 15 + 2,5√3)*5
S = (BC + AD)/2 * AB = (x + x + 5√3)/2 * 10 = (2x + 5√3)*5
Приравняем
(x + 15 + 2,5√3)*5 = (2x + 5√3)*5 |:5
x + 15 + 2,5√3 = 2x + 5√3
х = 15 - 2,5√3
P = 2p = 2*(x + 15 + 2,5√3) = 2* (15 - 2,5√3 + 15 + 2,5√3) = 60 см
