Треугольники АОД и ВОС - подобны (все углы равны). Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть:
к² =25/16
к = 5/4
Значит АО/ОС = ОД/ОВ = 5/4 (1)
Воспользуемся формулой для площади тр-ка через две стороны и синус угла между ними (пусть угол АОД = углу ВОС = α):
S(АОД) = (1/2)*АО*ОД*sinα = 25
S(ВОС) = (1/2)*ВО*ОС*sinα = 16
Теперь из второго выразим ВО и ОС:
ВО = 32/(ОС*sinα); ОС = 32/(ВО*sinα) (2)
Эти формулы пригодятся при нахождении площадей тр-ов АОВ и СОД:
S(АОВ) = (1/2)*АО*ОВ*sin(π-α); S(СОД) = (1/2)*ОД*ОС*sin(π-α) (3)
Подставим (2) в (3) и учтем, что sin(π-α)=sinα :
S(АОВ) = 16*(АО/ОС); S(СОД) = 16*(ОД/ОВ)
С учетом (1) получим что эти треугольники равновеликие и их площади равны:
S(АОВ) = S(СОД) = 16 *(5/4) = 20 см².
Площадь всей трапеции состоит из площадей 4-х треугольников:
S(АВСД) = 25 + 16 + 2*20 = 81 см²
ответ: 81 см².
Пусть ABCD – данный четырехугольник и АВ=СД,ВС=АД
Докажем что это параллелограмм
Проведем диагональ AC . Получившиеся треугольники ABC и CDA равны по трем сторонам. Действительно, AB = CD , BC = AD по условию, а сторона AC – общая. Тогда угол BCA = углу CAD и угол BAC = углу ACD . Первые два угла являются внутренними накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC , а вторая пара – при прямых AB и CD и секущей AC . Из равенства внутренних накрест лежащих углов по теореме 3.2 следует параллельность соответствующих прямых, а именно: из равенства углов BCA и CAD следует параллельность прямых BC и AD , а из равенства углов BAC и ACD – параллельность прямых AB и CD . Тогда по определению четырехугольник ABCD – параллелограмм.см файл вложен правда рисунок неровный поймешь
