Основание прямого параллелепипеда ромб с периметром 40 см. одна из диагоналей ромба равна 12 см. найдите объем параллелепипеда, если его большая диагональ равна 20 см.
В ромбе стороны по 10 см. Найдем вторую диагональ, используя теорему Пифагора. 10²= 6²+х². х = 8 - половина второй диагонали, значит диагональ 16 см. Эта большая диагональ ромба с большей диагональю параллелепипеда и боковым ребром образуют прямоугольный треугольник. Найдем ребро. 16²+h² = 20². h =12 - это ребро или высота. S(ромба) = 1/2 * 12 *16 =96 см².( половина произведения диагоналей) V = 96 * 12 =1152 cм³.
Если достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника так, чтобы гипотенуза была его диагональю (то есть присоединим к треугольнику второй такой же точно), то площадь такого прямоугольника будет ровно в 2 раза больше площади треугольника, то есть 2 * 512 * корень(3) = 1024*корень(3).
А также площадь прямоугольника равна произведению катетов. Обозначим меньший катет буквой х, тогда больший будет х*tg(x) = x*корень(3).
Итого, имеем площадь прямоугольника х*х*корень(3) = 1024*корень(3).
Корень(3) сокращаем, остаётся х*х = 1024. Отсюда х = корень(1024) = 32.
Проведем радиусы от центра окружности О до точек касания В и С. И соедини центр окружности с точкой А. рассмотрим получившиеся треугольники АВО и АСО, в них: угол АВО = угол АСО = 90 гр. (св-во касательных) , следовательно, треугольники АВО и АСО прямоугольные. А чтобы доказать равенство двух прямоуг. треуг-ов достаточно найти 2 равных элемента: - катет ОВ = катет ОС (радиусы окружности) - ОА - общ. гипотенуза из этого следует, что треугольники равны, следовательно все элементы этих треуг-ов равны. а следовательно равны и катеты АС и АВ ч. т. д.
Найдем ребро. 16²+h² = 20². h =12 - это ребро или высота.
S(ромба) = 1/2 * 12 *16 =96 см².( половина произведения диагоналей)
V = 96 * 12 =1152 cм³.