Question

4. 3 окружности (с радиусами 15, 15 и 24), попарно касаются друг друга внешним образом, и изнутри касаются четвертой окружности. найдите радиус этой окружности. 5. сторона квадрата имеет длину 1, и является хордой некоторой окружности. причем остальные стороны лежат вне нее. длина касательной проведенной из вершины квадрата к той же окружности равна 2. найдите квадрат длины ее радиуса. 2.в трапеции abcd отрезок mn с концами на боковых сторонах параллелен основаниям, ad = 4√2, bc = 3√2. найти mn, если известно, что площади трапеции amnd и mbcn равны. 1. в δabc точка n лежит на стороне ac, an = 0,4ac, медиана am перпендикулярна bn. найти площадь δabc, если am = 7, bn = 8. 3. на стороне ab треугольника abc, длина которого 4√3, отмечены точки d и e. найдите площадь треугольника abc, если ad = 1, de= 2, ∠acd = 30°, ∠ace = 120°. трапеций amnd и mbcn равны.

Answer 1

Это хоть на задачи похоже.

4. Центры окружностей образуют равнобедренный треугольник со сторонами 

24 + 15 = 39 (это две боковые стороны) и 15 + 15 = 30 (это основание). Высота к основанию легко находится, поскольку вместе с половиной основания 15 и боковой стороной 39 образует прямоугольный треугольник (15, 36, 39) (Пифагорова тройка). Высота равна 36.

Центр "внутренней" окружности расположен на этой высоте, пусть его радиус r. Расстояния от него до вершин (центров остальных окружностей) равны 15 + r, 15 + r, 24 + r. Поэтому расстояние от этого центра до основания (линии центров окружностей радиуса 15) равно 36 - (24 + r) = 12 - r;

Отсюда (15 + r)^2 = 15^2 + (12 - r)^2; 2(15 + 12)r = 12^2; r = 72/27;

5. Если продлить сторону квадрата, из вершины которой выходит касательная, до ВТОРОГО пересечения с окружностью, и обозначить эту хорду х, то 

2^2 = 1(x+1); x = 3; 

в результате имеются две взаимно перпендикулярные хорды длины 1 и 3, ясно, что отрезок, соединяющий их НЕ ОБЩИЕ концы - диаметр, то есть

D^2 = 1^2 + 3^2 = 10; R^2 = 5/2;

2. Если обозначить H - высота трапеции ABCD, h - высота трапеции MNCB, m = MN; a = AD; b = BC; то

(m + b)h = (a + b)H/2;

(m + a)(H - h) = (a + b)H/2; 

(Это все потому, что площади трапеций NMCB и ADMN равны половине площади ABCD) 

Пусть x = h/H; тогда

(m + b)x = (a + b)/2;

(m + a)(1 - x) = (a + b)/2;

Складывая оба уравнения, легко находим

x = (m - b)/(a - b);

m^2 = (a^2 + b^2)/2;

подставляем числа из условия, получаем m = 5;

1. Площадь ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ABMN равна 7*8/2 = 28;

Если обозначить AC = b; BC = a, то

Площадь треугольника АВС равна S = absin(C)/2

Площадь треугольника MNС равна (a/2)b(1-0,4)sin(C)/2 = 3S/10;

Поэтому площадь ABMN равна 7S/10 = 28; откуда S = 40;

3. самая прикольная задачка.

Пусть CD = b; СЕ = a;

Теорема синусов для тр-ка ADC (Ф - угол ВАС)

b/sinФ = AD/sin30 = 2; b = 2sinФ;

Теорема синусов для тр-ка ACE 

a/sinФ = AE/sin120 = 2√3; a = 2√3sinФ;

Треугольник DCE прямоугольный, с гипотенузой DE  =2;

a^2 + b^2 = 4;

Откуда sinФ = 1/2; отсюда сразу следует, что треугольник АСЕ равнобедренный с углом при вершине 120 (при основании - два угла по 30). Но это в решении не пригождается, так как h - высоту АВС, то есть расстояние от С до АВ, проще всего найти из треугольника CDE

ab = 2h; но уже найдены b = 1 и а = √3; поэтому h = √3/2;

площадь АВС равна (√3/2)*(4√3)/2 = 3.