Высота QL делит тр-к PQR на два подобных треугольника: QRL и PQL. Эти прямоугольные тр-ки подобны по двум равным углам: уг.QRL = уг.PQL и уг.RQL = уг.QPL как острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Эти тр-ки подобны также и исходному тр-ку PQR по тем же углам.
Против равных углов в подобных тр-ках лежат пропорциональные стороны:
Катет PQ в тр-ке PQR и катет PL в тр-ке PQL лежат против равных углов (уг.QRL = уг.PQL), гипотенуза PR в тр-ке PQR и гипотенуза PQ в тр-ке PQL лежат (естественно!) против прямых углов, поэтому
PQ:PL = PR:PQ: ,
откуда
PQ^2 = PL * PR.
Сделаем иллюстрацию. Примем, что О находится внутри треугольника.
Тогда ОА, ОВ и ОС - радиусы окружности. Раз ОВС равно 55, а ОВ=ОС, то треугольник ОВС равнобедренный и угол ОСВ тоже 55. Значит угол ВОС = 180-55-55=70
Теперь обозначим оставшиеся углы: АВО=ВАО=х, АСО=САО=у, АОВ=k, АОС=m. Составим систему уравнений:
1) 70+k+m=180 - для углов вокруг точки О
2) 2*55+2х+2у=180 - сумма углов треугольника АВС
3) k+2х=180 - сумма углов треугольника АВО
4) m+2у=180 - сумма углов треугольника АСО
Решаем систему:
Из (3): k=180-2x
Из (4): m=180-2у
Подставляя в (1): 70+180-2х+180-2у=180
2х+2у=70
Записываем (2): 2х+2у=70
Получились тождественно равные уравнения. Отсюда 2(х+у)=70, (х+у)=35
Посмотрим на рисунок - искомый нами угол и равен х+у. Значит, он равен 35 градусов
Насчёт решения для случая, когда О лежит вне окружности - не уверен, а проверять несколько лень
h=b*tg(φ)
S=b*b*sin(β)/2 - площадь основания
V=h*S=b^3*tg(φ)*sin(β)/2
2.
Все боковые ребра пирамиды образуют с ее высотой одинаковый угол и значит боковые ребра равны и значит проекции ребер равны, значит проекция вершины пирамиды лежит в центре описанной окружности около треугольника основания.
для равнобедренного треугольника с основанием а=12 см и углом при вершине 120° радиус описанной окружности R=a/корень(3),
(надо рисовать круг, в нем треугольник, вычислять ... я это сделал на черновике)
высота пирамиды
h = R*tg(30)=a/3=4 см
S=2*(a/2)*(a/2)*tg(30)/2 = a^2*корень(3)/12 = 12*корень(3) см^2
V = S*h/3 =12*корень(3)*4/3=16*корень(3) см^3