Question

Дан треугольник abc с вершинами a(-5; 1) b(-1; 4) c(3; 2) написать уравнение высоты cd

Answer 1

Фактически задача сводится к нахождению координат вектора CD.

Мы знаем, что СD перпендикулярно AB. И CD проходит через точку C.

Условие перпендикулярности -> косинус угла между векторами CD и AB равен нулю.

Формула косинуса угла между векторами - $cos(AB\ \^;CD)=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}$

AB={-1+5;4-1}={4;3}

CD={x2-3;y2-2}

Составим уравнение прямой АВ: $\frac{x+1}{4}=\frac{y-4}{3}$ (*)

Подставляя вместо x1 и y1 в формулу косинуса 4 и 3 соответственно получим:

4(x2-3)+3(y2-2)=0

Также точка D принадлежит прямой AB, а значит x2 и y2 удовлетворяют уравнению (*).

Решаем полученную систему уравнений.

$\left \{ {{4(x2-3)+3(y2-2)=0} \atop {\frac{x2+1}{4}=\frac{y2-4}{3}}} \right.$

Мне лень решать - сами решите. Как найдёте x2 и y2 - подставьте их и найдите координаты вектора CD. Зная координаты направляющего вектора и точку, через которую проходит прямая, легко составить уравнение прямой.

Оно выглядит так: $\frac{x-x_{0}}{x_{p}}=\frac{y-y_{0}}{y_{p}}$, где $x_{p}, y_{p}$ - координаты напрвляющего вектора (в нашем случае вектора CD), а х0 и у0 - координаты точки, через которую проходит прямая (в нашем случае С или D - на выбор)