Question

Вкруге радиусом 3 проведена хорда. под каким углом она видна из центра, если её длина: а) равна 1; б) равна 3; в) меньше чем 0.1; г) больше чем 4; д) равна расстоянию от неё до центра; е) равна длине хорды, имеющей с ней общую точку на окружности и перпендикулярной ей.

Answer 1

Пусть будет окружность с центром в точке О, АВ - хорда. Искомый угол - угол АОВ.
а) По теореме косинусов:
$AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2*OA*OB*cosAOB \\\\ cosAOB= \frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2*OA*OB} = \frac{9+9-1}{2*9*9}=0,1049$
Находим косинус по таблице Брадиса, получаем, что угол АОВ = примерно 84 градуса.

б) Если АВ=3, то треугольник АОВ равносторонний, а значит, угол АОВ=60 градусов.

в) Если АВ меньше 0,1, то по теореме косинусов
$cosAOB\ \textgreater \ \frac{OA^{2}+OB^{2}-0,1^{2}}{2*OA*OB}\\\\ cosAOB\ \textgreater \ 0,1110$
Находим угол, косинус которого равен 0,1110. Это угол 83 градуса 38 минут, значит, угол АОВ < 83 градуса 38 минут.

г) Если АВ больше 4, то по теореме косинусов
$cosAOB\ \textless \ \frac{OA^{2}+OB^{2}-4^{2}}{2*OA*OB}\\\\ cosAOB\ \textless \ 0,0123$
Значит, угол AOB>89 градусов 18 минут.

д) Пусть расстояние от центра до хорды равно 2х, тогда и хорда АВ=2х. Расстояние - это перпендикуляр, опущенный из точки О. Пусть он пересечёт АВ в точке Н, тогда АН=НВ=х. По теореме Пифагора
$OA^{2}=OH^{2}+AH^{2}\\\\ 9=5x^{2}\\\\ x= \frac{3 \sqrt{5} }{5}$
Значит, АВ=$\frac{ 6\sqrt{5} }{5}$. Тогда по теореме косинусов
$cosAOB= \frac{9+9- \frac{36*5}{25} }{162} =0,0666$
а угол АОВ=86 градусов 11 минут.

е) Пусть вторая хорда будет АС, точка А у них будет общая. АС перпендикулярно АВ и АС=АВ. угол А прямой и он вписан, значит, ВС - диаметр окружности, точка О лежит на отрезке ВС и ОВ=ОС,  а значит ОА - это медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника АВС, а значит, угол АОВ=90 градусов.