Question

Катет прямоугольного треугольника равен 15 см, а его проекция на гипотезу равна 9 см. найти площадь треугольника.

Answer 1

Проведем высоту из угла С прямоугольного треугольника ABC на гипотенузу AC. Из условия задачи ясно, что AC=15 см, CK=9 см. Заметим, что треугольники ABC  и ACK подобны по двум углам. У треугольника ABC - угол С прямой, у треугольника ACK - угол К прямой. Угол А у этих треугольников общий. Выполняется признак подобия по 3-м углам. Узнаем коэффициент подобия этих треугольников. К углу А прилежащим катетом в треугольнике АВС будет сторона АС, а в треугольнике АСК, прилежащей к углу А будет сторона АК. Значит коэффициентом подобия этих треугольников будет отношение сторон АС и АК.

$\frac{AC}{AK}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}$

Вычислить площадь треугольника АКС - нетрудно. Надо узнать сторону СК по теореме Пифагора

$CK=\sqrt{AC^2-AK^2}$

$CK=\sqrt{15^2-9^2}$

$CK=\sqrt{225-81}$

$CK=\sqrt{144}$

CК=12 см.

Площадь треугольника АКС равна половине произведения АК на АС.

$S_{\Delta AKC}=\frac{12*9}{2}$

$S_{\Delta AKC}=6*9$

$S_{\Delta ABC}=\frac{5^2}{3^2}*54$

$S_{\Delta AKC}=54$.

Так как треугольники подобны, то площадь треугольника АВС равна произведению квадрата подобия этих треугольников на площадь треугольника АКС

$S_{\Delta ABC}=\frac{5^2}{3^2}*54$

$S_{\Delta ABC}=\frac{25}{9}*54$

$S_{\Delta ABC}=25*6=150$

ответ: $150\quad cm^2$