Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру
r=S:p
Ни площади, ни полупериметра мы пока не знаем, но можем узнать.
Поскольку отрезок, соединяющий центр гипотенузы с противоположным катетом перпендикулярен к нему, он от начального треугольника отрезает подобный ему.
Коэффициент подобия этих треугольников 2, так как гипотенуза вдвое больше своей половины.
Следовательно, второй катет большего треугольника равен
2,5*2=5 см
Гипотренуза равна
√ (144+25)=13 см
Площадь треугольника
12*5:2=30 см²
полупериметр
12+5+13=30 см
30:2=15 см
r=S:p=30:15=2 см
В треугольнике АВС ОВ - биссектриса угла В, так как точка О равноудалена от сторон АВ и ВС. Или в треугольнике АВС ОК = ОР, так как ОВ - биссектриса. Нам дано и то и другое.
Треугольник АВС делится этой биссектрисой на два треугольника. Причем Sabc = Sabo + Scbo.
По Герону Sabc = √(p*(p-a)(p-b)(p-c)), где р - полупериметр треугольника АВС, равный (32+48+40):2 = 60.
Sabc = √(60*20*28*12) = 240√7.
Sabo = (1/2)*h*AB =16*h.
Scbo = (1/2)*h*BC = 24*h.
240√7 = 16h +24h =40h => h = 6√7.
h = OK = OP.
ответ: ОК=ОР = 6√7 ед.
Или так:
Площади треугольников с одинаковой высотой относятся как стороны, к которым проведена эта высота. то есть Sabo/Scbo = 32/48 = 2/3. Sabc = 240√7 (найдено выше) => Sabo = 96√7 => h =2S/AB = 192√7/32 = 6√7.