Question

Решить,. 1)в тетраэдре треугольник abc-правильный. do перпендикулярно abc. доказать, что ab перпендикулярно dc. 2)в тетраэдре abcd угол dac = углу dab. ab=ac.найти угол между прямыми ad и bc.

Answer 1

1) Если О - центр правильного треугольника АВС, то СМ - его высота,

АВ⊥СМ.

DO⊥АВС, значит DO перпендикулярна любой прямой этой плоскости, ⇒

АВ⊥DO.

АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости DOC, значит перпендикулярна плоскости. Значит прямая АВ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости DOC, ⇒

АВ⊥DC.

2) АВ = АС по условию, ∠DAC = ∠DAB по условию, DA - общая сторона для треугольников DAC и DAB, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒ DC = DB, т.е. ΔDCB равнобедренный.

Пусть Н - середина ВС. Тогда

ВС⊥АН, так как медиана АН равнобедренного треугольника АВС является и высотой,

ВС⊥DH, так как ΔDCB тоже равнобедренный,

ВС перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости DAH, значит перпендикулярна самой плоскости, значит перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в том числе и AD.

ответ: угол между прямыми AD и ВС равен 90°.