Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB равна 10, а высота SH равна 24. Точки M и N - середины рёбер SB и AB.
а) Находим длину L бокового ребра.
Перед этим определяем высоту основания:
h = a√3/2 = 10√3/2 = 5√3.
L = √(H² + ((2/3)h)²) = √(24² + (10√3/3)²) = 2√(457/3).
Теперь находим апофему А боковой грани.
A = √(H² + ((1/3)h)²) = √(24² + (5√3/3)²) = √(1753/3).
Заданная плоскость, проходящая через точки M и C параллельно прямой SN, пересекает ребро AB в точке K.
При этом линия сечения МК параллельна апофеме А = SN.
Поскольку SK - средняя линия треугольника NSB , то она делит NB пополам, или КВ = (1/4)АВ,
Доказано: AK:KB=3:1.
б) Находим длины сторон треугольника СМК, являющегося сечением пирамиды заданной плоскостью.
CK = √(h² + (a/4)²) = √((5√3)² + (10/4)²) = √75 + (25/4)) = √(325/4) = (5/2)√13.
MK = (1/2)A = (1/2)√(1753/3).
СМ находим как медиану треугольника BSC по теореме косинусов.
CM = √((L/2)² + a² - 2*(L/2)*a*cosB) =
= √((457/3) + 100 - 2*(1/2)√(1753/3)*0,20255) = 14,2244.
Площадь по формуле Герона равна: S = 54,11336 кв.ед.
ответ: S(CMK) = 54,11336 кв.ед.
S=1/2 * 4корень кв из 3 * 12 * син 120= 4 кор из 3 * 6 * кор из 3 / 2=3*4*3=36