Т. к. прямоугольный треугольник равнобедренный, поэтому углы прилежащие к гипотенузе равны по 45 град. катет равен 6 см, поэтому высота h = 6 см * sin45 = 3√2 см
Вспомним, что в трапеции треугольники, образованные основаниями и пересекающимися диагоналями подобны по трём равным углам. S ВОС: S AOD=16:25 Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Следовательно, k=ВО:ОD=√(16:25)=4/5 Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований. Треугольнике ВОС и СОD имеют общую высоту. Следовательно, площадь треугольника СО=5/4 площади ВОС и равна 16:4*5=20 В трапеции треугольники, образованные боковыми сторонами и пересекающимися диагоналями равновелики. ⇒ S AOB=S COD=20 ( можно проверить по отношению ВО:ОD и равным высотам). Площадь трапеции равна S ABCD= S BOC+S AOD+S AOB+S COD=16+25+20+20=81
Чтобы доказать утверждение, достаточно доказать, что линия центров делит внутреннюю касательную пополам (тогда она и вторую делит пополам :)). Если соединить центры окружностей и провести радиусы в точки касания внутренней касательной, то мы получим 2 прямоугольных треугольника с равными углами и катетами-радиусами, которые равны по условию. Этого достаточно,чтобы утверждать равенство треугольников. Откуда и следует, что линия центров делит внутреннюю касательную пополам. Значит, она и вторую делит пополам, значит - внутренние касательные пересекаются в своих серединах.
