Будем использовать следующие известные факты (они все легко доказываются): 1) Угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90° плюс половина третьего угла треугольника. 2) Биссектриса треугольника пересекает его описанную окружность в точке, лежащей на серединном перпендикуляре к той стороне, к которой проведена биссектриса. 3) Вписанный в окружность угол в 60° опирается на хорду равную R√3.
Пусть E и F - точки пересечения биссектрис треугольников ABD и АСD соответственно. Тогда из этих треугольников в силу 1) получаем ∠AED=∠AFD=90°/2+90°=135°. Значит AEFD - вписанный 4-угольник и радиус окружности описанной вокруг него равен AD/(2sin∠AED))=2/(2/√2)=√2=EF. Центр О этой окружности лежит на серединном перпендикуляре к AD и OH=1 т.к. HD=1 и OD=√2, где H - середина AD. Кроме того, треугольник OEF - равносторонний. С другой стороны, в силу факта 2) прямые BE и CF также пересекаются в точке О, т.к. прямоугольные треугольники ABD и ACD вписаны в окружность с центром H и радиусом HD=1. Таким образом, угол ∠BOC=∠EOF=60°, а значит по свойству 3) BC=√3.
Обозначим вершины ромба: А.В.С.Д. Пусть диагональ АС = 80см, диагональ ВД = 60см. Тоска пересечения диагоналей О. Точка вне плоскости ромба - M, МО = 45см. Половинки диагоналей ОС =40см, ОД = 30см. Найдём сторону ромба. Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то в Δ ДОС ∠ДОС = 90⁰. Гипотенузой является сторона ромба СД. По теореме Пифагора: ДС² = ОД² + ОС² = 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500. ДС = 50(см). Из точки О опустим перпендикуляр ОК на сторону СД. ОК является проекцией отрезка МК (расстояния от точки М до стороны ромба - это её надо найти). Найдём ОК. sin ∠ОСД = ОД: ДС = 30:50 = 0,6. ОК = ОС·sin ∠ОСД = 40·0,6 = 24(см) Из прямоугольного ΔМВК с прямым углом МВК найдём МК По теореме Пифагора: МК² = МО² + ОК² = 45² + 24² = 2025 + 576 = 2601. МК = 51(см)
