Центр вписанной в треугольник окружности удален от двух вершин треугольника на √30 и √370. найдите площадь этого треугольника , если радиус вписанной в треугольник окружности равен 3
Всё-таки пришёл к мысли, что задача решается вычислительным Если бы цифры были чуть-чуть другими, то треугольник получился бы прямоугольным, и тогда задача решилась бы очень красиво. Но треугольник чуть-чуть туповат, самую малость, но всё же. Обозначаю его так: пусть он АВС, центр впис. окр - точка О. Точки касания окружностью сторон, соответственно, С1, А1 и В1 (по противолежащей стороне).Пусть АО=корень(30), ВО=корень(370). СО нам неизвестно. Мы имеем три пары равных треугольников: ОВС1 = ОВА1 по общей стороне, равенству ОС1=ОА1, равенству прямого угла в точке касания, и равенству углов С1ВО и А1ВО(ибо ВО - биссектриса угла АВС). Всё так? Что ж, решаем известные треугольники. В треугольнике ОВС1 знаем гипотеузу ОВ = корень(370) и катет С1О = 3. Отсюда синус С1ВО = 3 /корень(370) = 0.1559625734730109, а сам угол = 8.972626614896393 градусов.Аналогично в ОАС1 гипотенуза ОА = корень(30) и катет С1О = 3, отсюда синус С1АО = 3/корень(30) = 0.5477225575051661, а сам угол = 33.21091076089908 градусов. Теперь заметим, что сумма углов треугольника АВС = 180 градусов, а сумма половин углов = 90 градусов. Отсюда угол ОСВ1 = ОСА1 = 90 - сумма двух найденных углов.90 - 8.972626614896393 - 33.21091076089908 = 47.816462624204526 градусов. Итак, в треугольнике ОСВ1 мы знаем катет ОВ1 = r = 3, и угол ОСВ1. Можем найти второй катет В1С = ОВ1 / tg (ОСВ1) = 2.718663608560393. Теперь заметим, что сумма следующих трёх отрезков: В1С, А1В, С1А составляет половину периметра треугольника - это желанная величина.В1С мы только что нашли. Найдём остальные два отрезка по теореме Пифагора. С1А=корень(370-3*3) = корень(361)=19.С1А = корень(30 - 3*3) = корень(21) = 4.58257569495584. Складываем эти три отрезка, и получаем: 2.718663608560393 + 19 + 4.58257569495584 = 26.301239303516233. Вот нам и готов полупериметр p. Теперь применяем формулу площади треугольника через радиус вписанной окружности: S = r * p = 3 * 26.301239303516233 = 78.90371791054869. Такой выходит ответ. В том, что этот ответ верный, у меня сомнений нет. Остаются лишь сомнения, что не увидел какой-то геометрический решения. Поэтому применил вычислительный. Ну, по крайней мере есть хоть такой. Ещё буду думать. К сожалению, есть банальный закон подлости - хорошая мысля приходит опосля. Может быть завтра само собой выскочит более короткое и красивое решение.
.Проведем SO — высоту пирамиды и перпендикуляры SK, SM и SN к соответствующим сторонам ΔАВС. Тогда по теореме о трех перпендикулярах OK ⊥ ВС, ОМ ⊥ АС и ON ⊥ AB. Так что ∠SKO = ∠SMO = ∠SNO = 60° — линейные углы данных двугранных углов. Значит, треугольники SKO, SMO и SNO равны по катету и остромууглу. Тогда OM = OK = ON, то есть точка О является центром окружности, вписанной в основание. В прямоугольном ΔAВС: 1. В правильной пирамиде все боковые рёбра равны, все боковые грани - равные равнобедренные тр-ки. Высота боковой грани называется апофемой правильной пирамиды. Следовательно, имеем боковую грань(равнобедр. тр-к с основанием=12 и высотой(апофемой)=15 см Высота равнобедр. тр-ка делит основание пополам и образует прямоуг. тр-к со стороной основания и бок. ребром пирамиды. Тогда по Пифагору: Бок. ребро=корень кв. из (6^2+15^2)=корень кв. из 261
S(AOPT)=2S(AOP)=S(AOD)=1/2AO*OD=1/2*1/AC*1/2BD=1/2*8*6=24 или по другому S(AOPT)=2S(AOP)=S(AOD)=1/4*S(ABCD)=1/4*1/2*AC*BD=1/8*16*12=24
С другой стороны площадь паралл. AOPT : S(AOPT)=1/2AP*OT*sin(fi)= =5/2OTsin(fi) Таким образом 5/2*OT*sin(fi)=24, остается определить OT Для параллелограммы AOPT OT^2+AP^2=2(AO^2+OP^2) [ OP=1/2*AD=1/2sqrt(8^2+6^2)=1/2sqrt100=1/2*10=5 ] OT^2=2(8^2+5^2)=178-5^2= 153 ==>0T=sqrt(153)=sqrt(9*17)=3sqrt(17) 5/2*OT*sin(fi)=24 ==> 5/2*3sqrt(17)sin(fi)=24 ==>sin(fi)=16/5*sqrt(17) cos(fi)=sqrt(1-256/25*17)=sqrt(169/25*17)=13/(5*sqrt(17))
Обозначаю его так: пусть он АВС, центр впис. окр - точка О. Точки касания окружностью сторон, соответственно, С1, А1 и В1 (по противолежащей стороне).Пусть АО=корень(30), ВО=корень(370). СО нам неизвестно.
Мы имеем три пары равных треугольников: ОВС1 = ОВА1 по общей стороне, равенству ОС1=ОА1, равенству прямого угла в точке касания, и равенству углов С1ВО и А1ВО(ибо ВО - биссектриса угла АВС). Всё так? Что ж, решаем известные треугольники.
В треугольнике ОВС1 знаем гипотеузу ОВ = корень(370) и катет С1О = 3. Отсюда синус С1ВО = 3 /корень(370) = 0.1559625734730109, а сам угол = 8.972626614896393 градусов.Аналогично в ОАС1 гипотенуза ОА = корень(30) и катет С1О = 3, отсюда синус С1АО = 3/корень(30) = 0.5477225575051661, а сам угол = 33.21091076089908 градусов.
Теперь заметим, что сумма углов треугольника АВС = 180 градусов, а сумма половин углов = 90 градусов. Отсюда угол ОСВ1 = ОСА1 = 90 - сумма двух найденных углов.90 - 8.972626614896393 - 33.21091076089908 = 47.816462624204526 градусов.
Итак, в треугольнике ОСВ1 мы знаем катет ОВ1 = r = 3, и угол ОСВ1. Можем найти второй катет В1С = ОВ1 / tg (ОСВ1) = 2.718663608560393.
Теперь заметим, что сумма следующих трёх отрезков: В1С, А1В, С1А составляет половину периметра треугольника - это желанная величина.В1С мы только что нашли. Найдём остальные два отрезка по теореме Пифагора.
С1А=корень(370-3*3) = корень(361)=19.С1А = корень(30 - 3*3) = корень(21) = 4.58257569495584.
Складываем эти три отрезка, и получаем: 2.718663608560393 + 19 + 4.58257569495584 = 26.301239303516233. Вот нам и готов полупериметр p.
Теперь применяем формулу площади треугольника через радиус вписанной окружности: S = r * p = 3 * 26.301239303516233 = 78.90371791054869. Такой выходит ответ.
В том, что этот ответ верный, у меня сомнений нет. Остаются лишь сомнения, что не увидел какой-то геометрический решения. Поэтому применил вычислительный. Ну, по крайней мере есть хоть такой. Ещё буду думать. К сожалению, есть банальный закон подлости - хорошая мысля приходит опосля. Может быть завтра само собой выскочит более короткое и красивое решение.