На сторонах треугольника АВС АВ, ВС, СА взяты соответственно точки М, N, P таким образом. что выполняется соотношение АМ:АВ=ВN:NB=СР:СА=1:3. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника МNP=2.
———————
ответ D) 6
Объяснение: Пусть АВ=с, ВС=а, АС=b
Т.к. короткие части равны 1/3 каждой стороны, то АМ=с/3, ВN=a/3, CP=b/3. Соответственно вторые части сторон равны по 2/3 от длины каждой.
Одна из формул площади треугольника S=0,5•a•b•sinα, где а и b - стороны. α - угол между ними. Следствие из этой формулы:
Площади треугольников, имеющих одинаковый угол, относятся как произведения сторон, образующих этот угол.
Примем площадь ∆ АВС=Q.
Тогда Ѕ(МАР):Ѕ(АВС)=[(с/3)•2b/3]:c•b=Q•2/9
Аналогично вычисления площадей ∆ МВN и ∆ PNC дадут их величину Q•2/9 (проверьте)
Сумма площадей этих треугольников 3•Q•2/9=Q•2/3 =>
Q-2Q/3=2
Q/3=2 => Q=3•2=6 (ед. площади)
Высота остроугольного треугольника равна 12 см. На каком расстоянии от вершины нужно провести прямую, перпендикулярную этой высоте, чтобы площадь треугольника разделить пополам?
ответ: D) 6√2
——————
Объяснение (подробно).
Назовем данный треугольник АВС. Высота ВН треугольника перпендикулярна стороне АС , к которой проведена. Прямая КМ перпендикулярна высоте.
Если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
МК параллельна стороне АС, к которой проведена высота, и отсекает от треугольника АВС подобный ему ∆ КВМ по равным углам ( угол при вершине общий, соответственные углы при пересечении параллельных прямых АС и КМ секущими АВ и СВ равны).
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
Ѕ(КВМ):Ѕ(АВС)=k²=1/2
k=√(1/2)=√(2/4)= 
Отношение линейных размеров сходственных элементов подобных фигур равно коэффициенту их подобия.
Отношение высоты ВО в ∆ КВМ к высоте ВН в ∆ АВС равно k=
BO:12= => ВО= (12√2):2=6√2 - искомое расстояние.
Стороны параллелограмма обозначаем за x и y. Высота будет равна половине стороны x (0,5x), т.к. она является стороной в прямоугольном треугольнике, которая лежит против угла в 30°.
Далее составляем систему уравнений:
2x+2y=52
0,5x*y=60
и решаем
y=120/x
2x+240/x=52
2x^2-52х+240=0
х≠0
х^2-26х+120=0
D=b^2-4*a*c
D=676-480=196>0–два корня
x1,2=(-b±√D)/2a
x1=26+14/2=20
x2=26-14/2=6
Дальше два варианта, либо х=20, а у=6, либо наоборот.
После высчитываем высоту, которая будет равна или 10, или 3. Удачи!