Question

100 . решите хотя бы одну с рисунком. : а) радиус oa окружности с центром o проходит через середину хорды bc. через точку b проведена касательная к окружности, пересекающая прямую oa в точке m. докажите, что луч ba – биссектриса угла cbm. б) точки a, b и c лежат на окружности, прямая ma – касательная к ней. докажите, что если точка c равноудалена от прямых ab и am, то она делит дугу acb пополам.

Answer 1

А). Радиус ОА проходит через середину хорды ВС, значит он перпендикулярен этой хорде (свойство). Радиус ОВ в точку касания касательной ВМ перпендикулярен этой касательной. Значит <AOB=<CBM, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами.  Градусная мера дуги АВ равна градусной мере центрального угла АОВ (а значит и <CBM), а угол МВА равен половине градусной меры дуги АВ (свойство угла между хордой и
касательной). Следовательно, угол МВА равен половине угла МВС, а значит ВА - биссектриса угла МВС. Что и требовалось доказать.

б). Если точка С , принадлежащая прямой АС, равноудалена от прямых АМ и АВ, следовательно эта прямая является биссектрисой угла, образованного этими прямыми.
То есть <MAC=<CAB.
<МАВ равен половине градусной меры дуги АСВ по свойству угла между касательной (МА) и хордой (АВ). По этому же свойству <MAC равен половине градусной меры дуги АС. Но <MAC равен половине <МАВ. Следовательно, точка С делит дугу АСВ пополам, что и требовалось доказать.