Найти площадь боковой поверхности, площадь основания и объём правильной четырёхугольной пирамиды с боковым ребром равным 12 см и плоским углом при вершине равным 60
Пусть М - точка пересечения отрезков АР и СЕ. Тогда треугольники ЕРМ и АМС является равносторонними. Итак, ЕР = ЕМ, и МС = АС. Но угол CAF = 50°, угол ACF = 80°, поэтому угол AFC = 50°. Следовательно, FC = AC = MC.
Поскольку угол MCF = 20°, то угол CFM = углу CMF = 80°. А значит, угол PFM = (180°-80°)=100°. Но угол РАС = 60°, угол PCA=80°, итак угол MPF = 40°. Поэтому угол PMF = 40°. Отсюда следует что PF = MF. Треугольник EPF = треугольнику EMF на основе равенства трех соответствующих сторон. Следовательно, Угол MEF = углу PEF = 1/2 * угол MEP = 1/2 * 60° = 30°
Обозначим все три угла как: α, β, ω. Тогда α+β+ω=90, так как угол прямой. 1) α=10+β+ω, α+ω=60. Решение сводится к системе из трех линейных уравнений с тремя неизвестными: α+β+ω=90 и β+ω-α=-10 и α+ω=60. Выразим в третьем уравнении угол α и подставим полученное выражение в первое уравнение вместо α: α=60-ω, 60-ω+β+ω=90 ⇔ β=90-60 ⇔ β=30. Далее, подставим выражение α=60-ω во второе уравнение, в котором неизвестный угол β уже найден, имеем: 30+ω-60+ω=-10 ⇔ 2ω=30-10 ⇔ ω=10. α=60-ω, тогда α=60-10=50. ответ: углы равны 50, 30, 10. 2) Второе задание решается аналогично. Имеем систему трех уравнений: α+β+ω=90 и α-β+ω=10 и α+β=60. В третьем уравнении выразим α и подставим полученное выражение в первое уравнение вместо α: α=60-β, 60-β+β+ω=90 ⇔ ω=90-60 ⇔ ω=30. Подставим выражение α=60-β во второе уравнение, в котором угол ω уже найден: 60-β-β+30=10 ⇔ -2β=10-90 ⇔ ⇔ -2β=-80 ⇔ β=40. Так как α=60-β, то α=60-40=20. ответ: углы равны 20, 40, 30.
Пусть М - точка пересечения отрезков АР и СЕ. Тогда треугольники ЕРМ и АМС является равносторонними. Итак, ЕР = ЕМ, и МС = АС. Но угол CAF = 50°, угол ACF = 80°, поэтому угол AFC = 50°. Следовательно, FC = AC = MC.
Поскольку угол MCF = 20°, то угол CFM = углу CMF = 80°. А значит,
угол PFM = (180°-80°)=100°. Но угол РАС = 60°, угол PCA=80°, итак угол MPF = 40°. Поэтому угол PMF = 40°.
Отсюда следует что PF = MF. Треугольник EPF = треугольнику EMF на основе равенства трех соответствующих сторон. Следовательно, Угол MEF = углу PEF = 1/2 * угол MEP = 1/2 * 60° = 30°
ответ: 30°.