68/ если точка М одинаково удалена от сторон правильного шестиугольника, то ее проекция, точка О, - ортоцентр шестиугольника, а т.к одинаково от сторон, то это на вписанной окружности с центорм О и радиусом r r= a*(sqrt3) /2 r=3sqrt3 R=a R= 6cm
расс мотрим треуг МОА- прямоуг, угО=90*, ОА=3sqrt3 MO= x cm
по тПифагора МА=sqrt ( x^2 + (3sqrt3)^2)
69/ проекция М лежит в центре вписаной в ромб окружносити , т.е. в точке О пересечения диагоналей OH= r = 20cm
рассматриваем МОН -ррямоугольный О=90*, ОН =20см МН=20 см ,следовательно О=М , т.е расстояние от точки М до плоскости ромба =0
Основания трапеции AB и CD. Если продолжить AB за точку B, и DM за точку M, до их пересечения в точке D1, то очевидно DM = D1M;
Тут можно кучу обоснований дать, например, равны треугольники AMD и BMD1 по КУЧЕ углов (это очевидно подобные треугольники, то есть у них все углы равны) и одной стороне BM = CM;
На самом деле есть "более старшее"обоснование. параллельные прямые делят пропорционально ВСЕ секущие, а тут "неявно" присутствует еще одна параллельная - средняя линия, содержащая точку M.
Вот после этого очевидно, что если также продолжить DC и AM до пересечения в точке A1, то A1M = AM;
То есть получился параллелограмм AD1A1D; (диагонали делятся пополам точкой пересечения). В силу упомянутого равенства треугольников AMD и BMD1; упомянутая в задаче сумма площадей равна площади треугольника D1MA;
Диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника, равных по площади, то есть упомянутая сумма равна также площади треугольника DMA, а это уже закрывает вопрос задачи.