1) Сумма углов треугольника 180°
В ∆ АВС ∠ АВС+∠ВАС=180°- 40°=140°
Сумма развернутых углов ∠НВС+∠КАС=360°
∠НВА+∠КАВ=360°- (∠ АВС+∠ВАС)=360°-140°=220°
Биссектрисы углов НВМ и КАВ делят их пополам.
Сумма половин этих углов вдвое меньше.
∠DBA+∠DAB=220:2=110°
∠BDA=180°-110°=70°
2)
По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе., CD=BD, ⇒
∠∆ CDB- равнобедренный, ∠ВСD=∠ABC=35°
∠ВСF=∠BCD+∠DCF=35°+10°=45°, т.е. равен половине прямого угла.
⇒ CF- биссектриса ∠АСВ.
3)
Срединный перпендикуляр делит АВ на равные отрезки АН=ВН
∆ АDВ - равнобедренный ( DH медиана и высота).
АС=AD+DC
В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других ( по т. о неравенстве треугольника).
В ∆ ВDС сторона ВС < ВD+DC, а BD=AD. ⇒ ВС < AD+DC
Следовательно, ВС меньше АС.
а) Доказательство:
По теореме о сумме углов в треугольнике:
∠С = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 40° - 100° = 40°.
Если ∠С = 40°, то ∠С = ∠A. Из этого следует, что △ABC - равнобедренный (BA = BC), что и требовалось доказать.
б) Решение:
Выше мы уже доказали, что △ABC - равнобедренный (BA = BC).
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины угла, противоположного основанию (в данном случае из ∠B), является также его биссектрисой.
Биссектриса делит угол пополам. Отсюда ∠ABH = ∠CBH. А если ∠B = 100°, то ∠ABH = ∠CBH = 100° / 2 = 50°.
ответ: 50°.
