MN II AB как средняя линия в треугольнике ABC; ML II CD как средняя линия BCD; KL II AB как средняя линия ABD; KN II CD как средняя линия ACD; Поэтому противоположные стороны четырехугольника KLMN параллельны, то есть это параллелограмм. По условию его диагонали KM и LN перпендикулярны, то есть это - ромб, все его стороны равны. Так же по условию KN = LN, то есть треугольник KNL равносторонний. Следовательно ∠NKL = 60°; Так как стороны этого угла параллельны сторонам искомого угла (то есть KL II AB; KN II CD), то прямые AB и CD тоже образуют угол 60°.
АВ=ВС, т.к. треугольник равнобедренный, а АС - основание. ВК=2, АК=8, тогда, АВ=10. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, проведём биссектрису ВН: точка Н совпадёт с точкой касания окружности на стороне АС, т.к. в биссектриса, проведённая из угла В, является и высотой, и медианой, т.е. угол АНС = 90 градусов. АН=АК, т.к. отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, т.е. АН=8, тогда АС=16. В прямоугольном треугольнике АВН АВ=10, АН=8, тогда по теореме Пифагора ВН=6. Найдём площадь треугольника: 1/2 * АС * ВН = 1/2 * 16 * 6 = 42.
АВСД-трапеция, АД=10, ВС=4,АВ=15,СД=3√13. ВК-перпендикуляр к АД, СМ- перпендикуляр к АД. <А и<Д-острые, определим какой с них меньше.
Рассмотрим ΔАВК и ΔСДМ,<К=<М=90⁰, <А=α, <Д=β.
sinα=BK/AB, sinβ=CM/DC,числители этих дробей равны(ВК=СМ,как высоты трапеции),15>3√3, АВ>СД, BK/AB<CM/DC,sinα<sinβ, α<β. Определим cosα=АК/AB
ΔАВК и ΔСМД,<К=<М=90⁰,АК=х,МД=АД-АМ=10-(х+4)=6-х. ВК²=АВ²-АК²=225-х²,
СМ²=СД²-МД²=(3√13)²-(6-х)²=117-36+12х-х²=81+12х-х²
81+12х-х²=225-х², 12х=144, х=12. cosα=12/15=4/5=0,8
ответ: 0,8.