Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 6 и образует с плоскостью боковой грани угол 30°. найдите : а) сторону основания призмыб) угол между диагональю призмы и плоскостью основания в) площадь боковой поверхности призмыг) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы. !
Правильная четырехугольная призма имеет две пары равных и параллельных граней. Она состоит из двух параллельных равных многоугольников, называемых основаниями, и боковой грани, которая соединяет вершины оснований.
Теперь перейдем к решению задачи.
a) Чтобы найти сторону основания призмы, нам нужно знать еще одну сторону или угол призмы. В условии дан угол: образованный диагональю призмы и плоскостью боковой грани равен 30°. Определим, какой многоугольник является основанием призмы.
Рассмотрим треугольник, образованный диагональю призмы и сторонами основания. Он равнобедренный, так как в нем одна сторона и угол при основании равны (см. свойства равнобедренного треугольника).
Угол при основании треугольника равен 60°, так как сумма углов треугольника равна 180°, а известно, что два угла при основании равны (поскольку треугольник равнобедренный) и угол, образованный диагональю, равен 30°.
Таким образом, у нас равносторонний треугольник с углами 60°. Следовательно, сторона основания призмы равна 6 (равна диагонали призмы).
Ответ: а) Сторона основания призмы равна 6.
b) Чтобы найти угол между диагональю призмы и плоскостью основания, воспользуемся противоположным углу 30°. Так как треугольник, образованный диагональю и сторонами основания, равнобедренный, то противолежащий угол между диагональю и плоскостью основания также равен 30°.
Ответ: b) Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен 30°.
c) Площадь боковой поверхности (ПБП) призмы равна произведению полупериметра основания на высоту призмы.
Поскольку у нас правильная четырехугольная призма, то боковая грань - равносторонний треугольник (а каждая из них имеет угол 30°). Значит, треугольники равносторонние.
Тогда полупериметр основания равен 3 * сторона основания призмы (поскольку у треугольника все стороны равны).
Высота призмы равна длине диагонали, образующей угол 30° с плоскостью основания.
Таким образом, ПБП призмы равна (3 * сторона основания призмы) * высота призмы.
Подставим значения: (3 * 6) * 6 = 108.
Ответ: c) Площадь боковой поверхности призмы равна 108.
d) Чтобы найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы, нужно найти площадь равнобедренного треугольника.
Для нахождения площади равнобедренного треугольника, нужно знать основание и высоту.
Основание равнобедренного треугольника - это сторона основания призмы, то есть 6.
Высота равнобедренного треугольника - это расстояние от середины основания до диагонали. В равнобедренном треугольнике высота проходит из вершины под прямым углом к основанию. Поскольку у нашего равнобедренного треугольника неизвестна высота, давайте нарисуем треугольник, указанной высоты и найдем треугольник, сходящийся к одной из сторон основания под прямым углом.
Таким образом, получается, что треугольник с высотой равен треугольнику с остроугольным углом 60°. Значит, у расчетного треугольника с высотой найден также угол - 60°.
Теперь мы можем применить формулу для площади треугольника: Площадь треугольника = (сторона основания * высота)/2.
Подставим значения: (6 * 6 * sin(60°))/2 = (36 * √3)/2 = 18 * √3.
Ответ: d) Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы, равна 18 * √3.
Надеюсь, ответ был понятен. Если возникли дополнительные вопросы - не стесняйтесь спрашивать!