Объем пирамиды, как и объем конуса, равен 1/3 произведения площади основания на высоту фигуры. Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат. Основание конуса - вписанный в основание пирамиды круг. Высота дана в условии. Сторона АД основания пирамиды равна диаметру КН основания конуса. Её нужно найти. Построим осевое сечения конуса МКЕ. Оно идентично осевому сечению пирамиды. проведенному через ее апофемы, т.к. образующие конуса совпадают с ними. Это сечение является равнобедренным треугольником, основание КЕ которого равно диаметру конуса и стороне основания пирамиды. Рассмотрим рисунок. Т - точка касания вписанной в конус сферы и образующей конуса ( грани пирамиды). Радиус вписанной окружности, проведенный в точку касания, перпедникулярен касательной. Прямоугольные треугольники МТО и МНА - подобны, у них общий острый угол при М. МН=9/4=2,25 МО=МН-r= 1,25 По т. Пифагора МТ²=МО²-ТО² МТ²= (2,25)²-1 МТ=0,75 Из подобия треугольников МТ:МН=ТО:КН 0,75:2,25=1:КН 0,75 КН=2,25 КН=3 - это радиус основания конуса и равен половине длины стороны квадрата в основании пирамиды. Площадь АВСД=(2*3²=)36 Объем пирамиды V п=36*2,25:3=27 Площадь основания конуса S=πr²=π*9 Объем конуса V к=π*9*Н:3=π*3²*2,25:3=π*9*0,75=π*6,75 Vп=27=4*6,75 Разность объемов пирамиды и конуса V п- V к=4*6,75-π*6,75=6,75*(4-π) или ≈ 5,8 единиц объема
Дано: ВК=(1/5)*ВС, КС=(4/5)*ВС, ВН=(√3/2)*ВС (высота равностороннего треугольника), ОН=(√3/6)*ВС, (так как центр О делит ВН в отношении 2:1, считая от вершины). S=(√3/4)*ВС². Опустим перпендикуляр КМ на основание АС. Треугольники НВС и КМС подобны. МК/ВН=КС/ВС=4/5. Отсюда МК=ВН*КС/ВС=(√3/2)*ВС*(4/5)*ВС/ВС=(2√3/5)*ВС. Треугольники NKM и NOH подобны. МК/ОH=NК/ON. Отсюда NK=МК*ON/ОH=(2√3/5)*ВС*1/(√3/6)*ВС=12/5. Тогда ОК=NK-ON= 7/5. По свойству биссектрисы СО в треугольнике NKC: ON/OK=CN/KС. Отсюда CN=ON*KC/OK или CN=(1*(4/5)*ВС)/(7/5)=(4/7)*ВС. По теореме косинусов в треугольнике CNK имеем: NK²=CN²+CK²-2*CN*NK*Cos60= (16/49)*ВС²+(16/25)*ВС² -2*(4/7)*(4/5)*ВС²*(1/2). 144/25= ВС²(624/1225). Отсюда ВС²= 3*49/13. S=(√3/4)*ВС² = 147√3/52.
