Теорема : Сумма углов треугольника равна 180градусам . Доказательство: Пусть АВС- данный треугольник. Проведем через вершину В прямую, параллельную прямой АС. Отметим на ней точку D так, чтобы точки А и D лежали по разные стороны от прямой ВС. Углы DВС и АСВ равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей ВС с параллельными прямыми АС и ВD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах В и С равна углу АВD. А сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов АВD и ВАС. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных прямых АС и ВD и секущей АВ, то их сумма равна 180 градусам. ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА.
СD1 - диагональ грани DCC1D1 куба. АС лежит в плоскости грани АВСD и является ее диагональю. DС1 не лежит в той же плоскости и пересекает ее в точке, не принадлежащей АС. Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются. ⇒ прямые DC1 и AC - скрещивающиеся. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. Проведем в грани АВВ1А1 диагональ АВ1||DC1 и в грани ВСС1В1 диагональ СВ1 Все грани куба квадраты и равны между собой. АС=АВ1=СВ1 как диагонали равных квадратов. Треугольник АСВ1 - равносторонний, и углы между его сторонами равны 60º⇒ Угол между ДС1 и АС=углу между АВ1 и АС и равен 60º
СD1 - диагональ грани DCC1D1 куба. АС лежит в плоскости грани АВСD и является ее диагональю. DС1 не лежит в той же плоскости и пересекает ее в точке, не принадлежащей АС. Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются. ⇒ прямые DC1 и AC - скрещивающиеся. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. Проведем в грани АВВ1А1 диагональ АВ1||DC1 и в грани ВСС1В1 диагональ СВ1 Все грани куба квадраты и равны между собой. АС=АВ1=СВ1 как диагонали равных квадратов. Треугольник АСВ1 - равносторонний, и углы между его сторонами равны 60º⇒ Угол между ДС1 и АС=углу между АВ1 и АС и равен 60º