)с объяснениями: ) правильные треугольники авс и аdс расположены так, что вершина в треугольника авс проектируется в центр треугольника аdс. найдите косинус угла между плоскостями авс и аdс.
В обоих треугольниках опустим высоты ВК и ДК на их общее основание АС. Проекцией высоты ВК на плоскость АСД будет прямая ОК, где точка О - центр тр-ка АСД. Точка О - это место пересечения высот, медиан и биссектрис тр-ка АСД, значит ОК - радиус вписанной в него окружности. Радиус вписанной окружности для правильного тр-ка: r=ОК=а√3/6. В тр-ке АВС ВК - высота, которая в правильном тр-ке равна: h=ВК=а√3/2. В тр-ке ВОК cos(ВКО)=ОК/ВК=2а√3/(6а√3)=1/3 - это ответ.
Проведем диагонали АС и ВD.Точку пересечения обозначим Е. В треугольниках АВЕ и СDЕ имеется по два равных угла: один - по условию, второй - вертикальный. Первый признак подобия треугольников: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.⇒ ∆ АВЕ ≈ ∆ СDЕ, ⇒ АЕ пропорциональна DE, ВЕ пропорциональна ЕС. В треугольниках ADE и ВСЕ: АЕ пропорциональна DЕ, ВЕ- пропорциональна СЕ, углы АЕD и BEC равны, как вертикальные. Второй признак подобия треугольников Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Треугольники ADE и ВСЕ подобны и углы, противолежащие пропорциональным сторонам, равны. ⇒∠ВDA=∠BCA
Проведем диагонали АС и ВD.Точку пересечения обозначим Е. В треугольниках АВЕ и СDЕ имеется по два равных угла: один - по условию, второй - вертикальный. Первый признак подобия треугольников: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.⇒ ∆ АВЕ ≈ ∆ СDЕ, ⇒ АЕ пропорциональна DE, ВЕ пропорциональна ЕС. В треугольниках ADE и ВСЕ: АЕ пропорциональна DЕ, ВЕ- пропорциональна СЕ, углы АЕD и BEC равны, как вертикальные. Второй признак подобия треугольников Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Треугольники ADE и ВСЕ подобны и углы, противолежащие пропорциональным сторонам, равны. ⇒∠ВDA=∠BCA ----- [email protected]
Точка О - это место пересечения высот, медиан и биссектрис тр-ка АСД, значит ОК - радиус вписанной в него окружности.
Радиус вписанной окружности для правильного тр-ка: r=ОК=а√3/6.
В тр-ке АВС ВК - высота, которая в правильном тр-ке равна: h=ВК=а√3/2.
В тр-ке ВОК cos(ВКО)=ОК/ВК=2а√3/(6а√3)=1/3 - это ответ.