Question

Найдите длины сторон abc с основанием ac, еслиизвестно, что длины его высот an и bmравны соответственно n и m.

Answer 1

Чертеж - во вложении.
Пусть АВ=ВС=х, АС=у (для удобства)
По формуле площади треугольника через высоту $S= \frac{1}{2} h*a$ получаем соотношения:
$S_{\Delta}= \frac{1}{2}my;\ S_{\Delta}= \frac{1}{2}nx.$
Следовательно, $\frac{1}{2}my= \frac{1}{2}nx\ =\ \textgreater \ y= \frac{n}{m}x$
По формуле площади треугольника через синус угла $S= \frac{1}{2} a*b*sin\ \alpha$ получаем
$S_{\Delta}= \frac{1}{2} xy*sin\ C= \frac{1}{2} x* \frac{n}{m}x *sin\ C= \frac{nx^2}{2m} *sin\ C$
Сопоставим площади:
$\frac{nx^2}{2m} *sin\ C=\frac{1}{2}nx\ =\ \textgreater \ sin\ C= \frac{m}{x}$
В Δ АВС по теореме косинусов АВ²=ВС²+АС²-2ВС·АС·cos C.
х² = х² + у² - 2ху·cos C
$cos\ C= \frac{y^2}{2xy} =\frac{y}{2x} = \frac{nx}{m} * \frac{1}{2x}= \frac{n}{2m}$
По основному тригон.тождеству sin²C+cos²C=1. Отсюда
$sin^2C=1-cos^2C=1- \frac{n^2}{4m^2} = \frac{4m^2-n^2}{4m^2}$
$\frac{4m^2-n^2}{4m^2} =\frac{m^2}{x^2} \\ x^2=\frac{4m^4} {4m^2-n^2} \\ x= \sqrt{ \frac{4m^4} {4m^2-n^2} }= \frac{2m^2}{ \sqrt{4m^2-n^2} } =BC=AB.$
$AC=y= \frac{n}{m} x= \frac{n}{m} *\frac{2m^2}{ \sqrt{4m^2-n^2} } =\frac{2mn}{ \sqrt{4m^2-n^2} } .$
Все стороны найдены.