Question

Втрапеции abcd ad=a bc=d ac=√ab докажите что угол bac= уголу adc

Answer 1

Мне задачка очень понравилась..
смотри рисунок.
Сделаем обозначения.
т.к красные углы равны, тогда  α1+β1=α2+β2, т.е. геометрически эти пары углов , если их сложить,т образуют одинаковый угол.  Для понимания задачи это важно.
что значит с=√ав  ?  это среднее геометрическое, т.е. 
$\frac{b}{c}= \frac{c}{a} \\$
из треугольников АВС и АСД по т. синусов имеем
$\frac{b}{sin \alpha 1} = \frac{c}{sin \beta 1} \\ \frac{b}{c} = \frac{sin \alpha 1}{sin \beta 1} \\ \\ \frac{c}{sin \alpha 2} = \frac{a}{sin \beta 2} \\ \frac{c}{a} = \frac{sin \alpha 2}{sin \beta2} \\ \\$

подставляя, получаем
$\frac{sin \alpha 1}{sin \beta 1}= \frac{sin \alpha 2}{sin \beta 2} \\$
но как мы помним, что α1 , β1    и  α2,β2  есть части одного и того же угла, тогда чтобы отношения синусов частей одного и того же угла были равны, нужно, чтобы были равны их синусы, соответственно и их углы,  т.е. α1=α2,  β1=β2
что и требовалось доказать.