Question

Втрапеции abcd с основаниями ab и cd диагонали ac и bd пересекаются в точке о, причем треугольник boc равносторонний. известно, что ав = 5, cd = 3. найдите длину стороны bc.

Answer 1

Ситуация с чертежом в данной задаче нетипичная для школы, т.к. боковые стороны трапеции имеют "однобокий уклон" (это не термин).
Т.к. при пересечении диагоналей АC и BD в точке О образовался равносторонний Δ ВОС, то у него все углы по 60°. Следовательно, ∠АОB = 120° (смежный с ∠ВОС=60°).
ΔCOD и ΔAOB подобны по двум углам (отмечены дугами на рисунке).
Запишем отношение сходственных сторон:
$\frac{DO}{OB}= \frac{CO}{OA}= \frac{DC}{AB}$
Обозначим CB=CO=OB=a.
$\frac{DO}{a}= \frac{a}{OA}= \frac{3}{5}$
Отсюда $OA= \frac{5}{3}a$
В Δ АОВ по теореме косинусов АВ² = АО² + ОВ² - 2АО·ОВ·cos∠O.
$5^2=( \frac{5}{3}a )^2+a^2-2* \frac{5}{3}a *a*cos120^o$
$25= \frac{25}{9}a^2+a^2-2* \frac{5}{3}a^2 *(- \frac{1}{2})$
$25= \frac{25}{9}a^2+a^2+ \frac{5}{3}a^2$
$\frac{49}{9}a^2=25$
$a^2= \frac{9*25}{49}$
$a= \frac{3*5}{7} = \frac{15}{7} =BC$
ответ: $BC=\frac{15}{7}$