Відповідь: 2,875
Пояснення: Проведем перпендикуляр SO к плоскости основания и перпендикуляры SK, SM и SN к сторонам ΔABC. Тогда по теореме о трех перпендикулярах OK ⊥ BC, ОМ ⊥ АС и ON ⊥ AB.
Тогда, ∠SKO = ∠SMO = ∠SNO = 45° — как линейные углы данных двугранных углов.
А следовательно, прямоугольные треугольники SKO, SMO и SNO равны по катету и острому углу.
Так что OK=OM=ON, то есть точка О является центром окружности, вписанной в ΔАВС.
Выразим площадь прямоугольника АВС: формула Герона на фото
площадь прямоугольника АВС=192
радіус вписаного кола = площа поділити на пів периметр =192/32=2,875
Так как в прямоугольном треугольнике SOK острый угол равен 45°, то ΔSOK является равнобедренным и SO=OK=2,875
Sосн=(1/4)a²√3, a - сторона основания.
1. рассмотрим ΔАВС- основание правильной пирамиды: пусть сторона =а, высота = h.
h=(a√3)/2. высоты(медианы, биссектрисы) правильного треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.
2. рассмотрим Δ, образованный высотой пирамиды Н, апофемой b и катетом =(1/3)h
cosα= [(1/3)h ]/b, h=3*b*cosα, => a=(6*b*cosα)/ √3
sinα= H/b, H=sinα*b
V пир= (1/3)* [(6bcosα)/√3]²/4 *(sinα*b)=b³*sinα*cosα
или по формулам двойного аргумента: V=(1/2)*b³*sin2α