Я для этой задачи сделаю исключение. Дело в том, что недавно возникла дискуссия о пользе теоремы Чевы. А это - очень хороший пример, когда задача просто устная благодаря этой теореме. Нужна вс задача. Пусть есть произвольный треугольник ABC, и на стороне AB выбрана точка A1 так, что отношение BA1/A1C - фиксированное число k. Пусть на AA1 выбрана точка O, так что AO/OA1 - тоже заданное число m. Легко видеть, что если построить две другие чевианы, проходящие через точку О, то отношения CB1/B1A = x и CA1/A1B = y будут однозначно определяться числами к и m, не зависимо от конкретного вида треугольника ABC. В самом деле x + y = m (теорема Ван Обеля) ky/x = 1 (теорема Чевы) то есть y = m/(k + 1); x = km/(k + 1); Теперь - к этой задаче. Есть два треугольника - ACM и BCM. Для которых CH/HM = k одинаковое :) ну просто потому, что это общая сторона. И кроме того AE/EH = BF/FH = m = 1; Из вс задачи следует CP/PA = CQ/QB, что означает PQ II AB; это все решение. Заметьте, что нигде не использовано, что CM - высота, и что H - ортоцентр. То есть условие будет работать вообще для любых чевиан, а не только для высот.
средняя линия= (АД+БС)/2=(7х+8х)/2=15х/2=30, х=60/15=4,
АД=7х=7*4=28, БС=8х=8*4=32