Длина такого отрезка равна высоте, опущенной на основание, деленной на КОСИНУС угла отрезка с этой высотой.
Косинус - монотонно убывающая функция (между 0 и 180, между 0 и 90 она еще и положительна, а у нас именно такой случай), что легко видно из координатного определения (асбцисса радиуса единичной окружности, чем больше угол, тем меньше координата конца радиуса - в интервале углов от 0 до 90).
Поэтому длина отрезка будет монотонно возрастать. Пока конец отрезка не достигнет вершины (конца основания).
Есть еще какая-то теорема, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, применение этой теоремы к треугольнику, образованному отрезком, боковой стороной и куском основания, сразу решает задачу... но я не помню, как эта теорема доказывается без применения тригонометрии:
Исходя из рисунка, видно, что диагональ(BD) равна 2R.
1. Из свойств вписанной в квадрат окружности мы знаем, что r=a/2, т.е. NO=BN=
2. ON перпендикулярна BC ( по свойствам касательной, проведенной к окружности) => треуг.BNO-прямоуг, тогда по т. Пифагора мы можем найти ВО(R):
3. Значит, ВD=2R=6×2=12.
ответ: 12.