Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором угол А- прямой, угол B- 30º и, значит, угол С- 60º (рис. а) Докажем, что АС=1\2 ВС. Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как показано на так, рисунке б. Получим треугольник BCD, в котором угол В= углу D=60º поэтому DC=BC. Но AC=1/2 DC. Следовательно, АС=1/2ВС, что и требовалось доказать.
Прямые АВ1 и ВД1 являются скрещивающимися. Чтобы найти расстояние между такими прямыми нужно одну из прямых перенести параллельно самой себе так, чтобы она пересекла плоскость другой прямой. Переносим прямую ВД1 (главную диагональ куба) параллельно себе. Получим прямую В2Д2, которая пересекла плоскость АА1В1В в точке Е, являющейся серединой отрезка АВ1 и серединой отрезка В2Д2. Из точки Е опустим перпендикуляр на прямую ВД1 и попадём точно в середину ВД1, которая является и центром куба О. Расстояние ЕО и будет расстоянием между прямыми АВ1 и ВД1. Отрезок ЕО - есть расстояние между центром плоскости АА1В1В и центром куба. Это расстояние по величине равно половине ребра. Таким образом, ЕО = 0,5 · 5√6 = 2,5√6 ответ: 2,5√6
Используем свойство касательных, проведенных из одной точки: отрезки касательных к окружности (в нашем случае это КА и КВ), проведенные из одной точки (это К), равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности). Нам важно, что КА=КВ. Треугольник АКВ получается таким образом равнобедренным, и углы при его основании АВ должны быть равными. Найдем их: <KAB=<KBA=(180-<K):2=(180-72):2=54°. Угол КВО прямой, т.к. касательная к окружности КВ перпендикулярна к радиусу ОВ, проведенному в точку касания В. Отсюда <ABO=<KBO-<KBA=90-54=36°
