Question

Дано треугольник авс ав = 5 вс 8 ас 7 найти углы

Answer 1

∠A = arcsin(4√3/7)

∠ В = 60°

∠C = arcsin(5√3/14)

Объяснение:

Воспользуемся теоремой синусов.

Полупериметр треугольника АВС равен (5 + 7 + 8):2 = 10.

Площадь треугольника АВС равна √10*(10 - 5)*(10 - 7)*(10 - 8) = 10√3.

Радиус описанной вокруг треугольника окружности равен 5*7*8/4*10√3 = 7√3/3.

Тогда по теореме синусов:

7/sinB = 2*7√3/3, откуда sinB = 3√3/6 = √3/2, ∠ В = 60°.

5/sinC = 2*7√3/3, откуда sinC = 5√3/14, ∠C = arcsin(5√3/14)

8/sinA = 2*7√3/3, откуда sinA = 4√3/7 ∠A = arcsin(4√3/7)

Answer 2

ответ: arccos(11/14); arccos(1/7); 60°

Объяснение:

Теорема косинусов: AB² = AC² + CB² - 2AC * CB * cos∠ACB

Выразим cos∠ACB:

$2AC*CB*cosACB =AC^2+CB^2-AB^2\\ \\ cosACB=\frac{AC^2+CB^2-AB^2}{2AC*CB}$

Подставим известные значения:

$cosACB=\frac{AC^2+CB^2-AB^2}{2AC*CB}=\frac{8^2+7^2-5^2}{2*7*8}=\frac{88}{14*8}=\frac{11}{14}$

Из равенства находим ∠ACB = arccos(11/14)

Аналогично для ∠BAC и ∠ABC:

$cosBAC=\frac{AC^2+AB^2-CB^2}{2AC*AB}=\frac{5^2+7^2-8^2}{2*7*5}=\frac{10}{10*7}=\frac{1}{7}$

∠BAC = arccos(1/7)

$cosABC=\frac{BC^2+AB^2-AC^2}{2BC*AB}=\frac{8^2+5^2-7^2}{2*8*5}=\frac{40}{2*40}=\frac{1}{2}$

∠ABC = arccos(1/2) = 60°