1 признак. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD, AD║ BC, AD = BC. Доказать: ABCD - параллелограмм. Доказательство: Проведем BD. ВС = AD по условию, ∠1 = ∠2 как накрест лежащие при пересечении AD║BC секущей BD, BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB, ⇒ ΔABD = ΔCDB по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что ∠3 = ∠4, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых CD и АВ секущей BD, значит CD║AB. Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то это параллелограмм.
2 признак. Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник - параллелограмм. Дано: ABCD, AB = CD, BC = AD. Доказать: ABCD - параллелограмм. Доказательство: Проведем BD. ВС = AD по условию, AB = CD по условию, BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB, ⇒ ΔABD = ΔCDB по трем сторонам. Из равенства треугольников следует, что ∠1 = ∠2, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых ВС и AD секущей BD, значит ВС║AD и ABCD - параллелограмм по первому признаку.
3 признак. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм. Дано: ABCD, AC∩BD = O, AO = OC, BO = OD. Доказать: ABCD - параллелограмм. Доказательство: AO = OC по условию, BO = OD по условию, ∠АОВ = ∠COD как вертикальные, ⇒ ΔАОВ = ΔCOD по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = CD и ∠1 = ∠2, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и CD секущей АС, значит АВ║CD. ABCD - параллелограмм по первому признаку.
Пусть ABCD - данный параллелограмм, а A', B', C', D' - точки, в которые переходят A, B, C, D. Т.к. при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную ей плоскость (или в себя), то плоскость α'В'С'D' параллельна плоскости αВCD.Т. к. при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то AA' || BB' || CC' || DD' и AA' = BB' = CC' = DD'.Так что в четырехугольнике AA'D'D противолежащие стороны параллельны и равны, а, значит, AA'D'D — параллелограмм. Тогда A'D' = AD и A'D' || AD.Аналогично A'B' = AB и A'B' || AB; C'D' = CD и C'D' || CD; B'C' = BC и B'C' || BC.Т. к. две прямые, параллельные третьей, параллельны, то получаем, что A'D' || B'C', A'B' || C'D'.А, значит, A'B'C'D' — параллелограмм, равный параллелограмму ABCD (т.к. соответствующие стороны равны). Что и требовалось доказать.
Длина одного прямоугольника: х; длина другого: х+10.
Площади прямоугольников относятся, как 2:3, значит: S1/S2=2/3.
Площадь одного прямоугольника: S1=x*b; другого: S2=(x+10)*b.
Подставим в уравнение выше: (x*b)/((x+10)*b)=2/3, x/(x+10)=2/3, x=20.
Значит, длина первого прямоугольника: 20 м; второго — 20+10=30 (м).
Длина большого прямоугольника равна сумме длин тех, что внутри: 20+30=50.
Исходя из формулы площади, которую я написал вначале, вычислим ширину: b=S/a=2000/50=40 (м).
Итак, больший прямоугольник, это тот, у которого больше длина. Длина большего прямоугольника 30 м, а ширина, как и у первоначального прямоугольника, 40 м. 30/40=3/4
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD, AD║ BC, AD = BC.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство:
Проведем BD.
ВС = AD по условию,
∠1 = ∠2 как накрест лежащие при пересечении AD║BC секущей BD,
BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB, ⇒
ΔABD = ΔCDB по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует, что
∠3 = ∠4, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых CD и АВ секущей BD, значит
CD║AB.
Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то это параллелограмм.
2 признак.
Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD, AB = CD, BC = AD.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство:
Проведем BD.
ВС = AD по условию,
AB = CD по условию,
BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB, ⇒
ΔABD = ΔCDB по трем сторонам.
Из равенства треугольников следует, что
∠1 = ∠2, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых ВС и AD секущей BD, значит ВС║AD и ABCD - параллелограмм по первому признаку.
3 признак.
Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD, AC∩BD = O, AO = OC, BO = OD.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство:
AO = OC по условию,
BO = OD по условию,
∠АОВ = ∠COD как вертикальные, ⇒
ΔАОВ = ΔCOD по двум сторонам и углу между ними.
Значит, AB = CD и ∠1 = ∠2, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и CD секущей АС, значит АВ║CD.
ABCD - параллелограмм по первому признаку.