Высоты АА1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Е. Докажите что углы CC1A1 и СAA1 равны.
Доказательство через вписанные углы в описанной окружности.
Т.к. в прямоугольных треугольниках АС1С и АА1С общая гипотенуза, то вокруг них можно описать общую окружность. В ней вписанные углы CC1A1 и СAA1 опираются на дугу, стягиваемую общей для них хордой. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, что и требовалось доказать.
∆ АЕС1 и ∆ СЕА1 - прямоугольные и имеют равные вертикальные углы при Е. - Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
Отношения катетов, противолежащих равным углам подобных треугольников, к гипотенузе - равны ( это отношение - синусы равных углов).⇒
ЕС1:ЕА=ЕА1:ЕС.
Рассмотрим ∆ ЕАС и ∆ ЕА1С1. Они имеют равные вертикальные углы при Е, а их стороны. содержащие равные углы, пропорциональны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны. то такие треугольники подобны.
Следовательно, ∆ЕАС и ∆ ЕА1С1 подобны.
Углы ЕАС и ЕС1А1 лежат напротив сходственных сторон, следовательно, равны, ч.т.д
Треугольники будут подобны при равенстве отношений длин сторон,т.е. выполнении условия: