Даны вершины пирамиды А(3,-5,5), В(-5,1,0), С(3,0,5), D(1,-1,4).
1) Находим векторы ВА и ВС.
ВА = (3+5=8; -5-1=-6; 5-0=5) = (8; -6; 5).
Модуль равен √(64+36+25) = √125 = 5√5.
ВС = (3+5=8;0-1=-1; 5-0=5) = (8; -1; 5).
Модуль равен √(64+1+25) = √90 = 3√10.
cos B = (8*8+(-1)*(-6)+5*5)/(5√5*3√10) = 95/(75√2) = 19√2/30 ≈ 0,896.
∠B = arc cos 0,896 = 0,46086 радиан = 26,406 градуса.
2) Площадь треугольника ABС равна половине модуля векторного произведения ВА(8; -6; 5) на ВС(8; -1; 5).
Применим треугольную схему.
i j k | i j
8 -6 5 | 8 -6
8 -1 5 | 8 -1 =
= -30i + 40j - 8k - 40j + 5i + 48k = -25i + 0j + 40k = (-25; 0; 40).
Модуль равен √(625 + 0 + 1600) = √2225 = 5√89.
Площадь АВС равна (1/2)*5√89 = 5√89/2 ≈ 23,585 кв.ед.
3) Объём пирамиды равен (1/6) смешанного произведения (ВАхВС)*BD.
Находим вектор BD: В(-5,1,0), D(1,-1,4) = (1+5=6; -1-1=-2; 4-0=4) = (6; -2; 4).
BAxBC = (-25; 0; 40)
V = (1/6)*(-150+0+160) = 10/6 = 5/3 ≈ 1,67 куб.ед.
Для решения задач по стереометрии остро необходимо умение строить на рисунке сечения многогранников (например, пирамиды, параллелепипеда, куба, призмы) некоторой плоскостью. Дадим несколько определений, поясняющих, что такое сечение:
Секущей плоскостью пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данной пирамиды (призмы,
параллелепипеда, куба).
Сечением пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и секущей плоскости.
Секущая плоскость пересекает грани пирамиды (параллелепипеда, призмы, куба) по отрезкам, поэтому сечение есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости, сторонами которого являются указанные отрезки.
Для построения сечения пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) можно и нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и соединить каждые две из них, лежащие в одной грани.