Найдите объём правильной треугольной пирамиды, середина высоты которой удалена от боковой грани и от бокового ребра на расстояния 2 и \sqrt{10} соответственно. при необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
Пусть имеем правильную пирамиду АВСS, Проведём осевое сечение через ребро ВS. Получим треугольник ДВS, высота SО = Н в нём является высотой пирамиды, сторона SД - это апофема грани АСS. Из середины SО (пусть это точка М) проведём перпендикуляры на SД и SВ. Это будут заданные расстояния МЕ = 2 и МК = √10.
По свойству высоты ВД = h равностороннего треугольника АВС она делится точкой О на части ОД = (1/3)h и ОВ = (2/3)h. Обозначим половину высоты Н за х, сторону основания за а.
Определим SK = √(x²-10), SE = √(x²-4). tgДSO = 2/√(x²-4), tgВSO = √10/√(х²-10). Выразим: ОВ = 2х*tgВSO = 2√10*х/√(х²-10), ОД = 2х*tgДSO = 4х/√(х²-4) А так как ОВ = 2ОД, составим уравнение: 2√10*х/√(х²-10) = 2*4х/√(х²-4). После сокращения на 2х и возведения в квадрат обеих частей уравнения, получаем: 10/(х²-10) = 16/(х²-4). Раскроем скобки и выразим относительно х: 10х²-40 = 16х²-160, 6х² = 120, х² = 120/6 = 20, Отсюда х = √20 = 2√5, высота пирамиды Н = 2х = 4√5. Находим значения тангенсов углов: tgДSO = 2/(√20-4) = 2/4 = 1/2, tgВSO = √10/(√20-10) = √10/√10 = 1. Высота h = ВД =ВО + ОД = Н*tgВSO + Н*tgДSO = = 4√5*(1/2) + 4√5*1 = 2√5 + 4√5 = 6√5.
Теперь находим сторону основания: а = h/cos30° = 6√5/(√3/2) = 12√5/√3 = 4√15. Площадь АВС как равностороннего треугольника равна So = a²√3/4 = = 16*15√3/4 = 4*15√3 = 60√3. Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*60√3*4√5 = 80√15 ≈ 309,8387 куб.ед.
В равнобедренном треугольнике биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают. Пусть в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектрисы AA1,BB1,CC1. Точка O является точкой пересечения биссектрис AA1 и CC1. Так как биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, BB1 проходит через точку O. Так как биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают, BB1 - высота. Тогда BB1 перпендикулярна AC. Так как точка O лежит на отрезке BB1, прямая BO и прямая BB1 совпадают (это одна и та же прямая, которую можно назвать по-разному). Значит, прямая BO перпендикулярна AC, что и требовалось доказать.
Проведём осевое сечение через ребро ВS.
Получим треугольник ДВS, высота SО = Н в нём является высотой пирамиды, сторона SД - это апофема грани АСS.
Из середины SО (пусть это точка М) проведём перпендикуляры на SД и SВ.
Это будут заданные расстояния МЕ = 2 и МК = √10.
По свойству высоты ВД = h равностороннего треугольника АВС она делится точкой О на части ОД = (1/3)h и ОВ = (2/3)h.
Обозначим половину высоты Н за х, сторону основания за а.
Определим SK = √(x²-10), SE = √(x²-4).
tgДSO = 2/√(x²-4), tgВSO = √10/√(х²-10).
Выразим: ОВ = 2х*tgВSO = 2√10*х/√(х²-10),
ОД = 2х*tgДSO = 4х/√(х²-4)
А так как ОВ = 2ОД, составим уравнение:
2√10*х/√(х²-10) = 2*4х/√(х²-4).
После сокращения на 2х и возведения в квадрат обеих частей уравнения, получаем: 10/(х²-10) = 16/(х²-4).
Раскроем скобки и выразим относительно х:
10х²-40 = 16х²-160,
6х² = 120,
х² = 120/6 = 20,
Отсюда х = √20 = 2√5, высота пирамиды Н = 2х = 4√5.
Находим значения тангенсов углов:
tgДSO = 2/(√20-4) = 2/4 = 1/2, tgВSO = √10/(√20-10) = √10/√10 = 1.
Высота h = ВД =ВО + ОД = Н*tgВSO + Н*tgДSO =
= 4√5*(1/2) + 4√5*1 = 2√5 + 4√5 = 6√5.
Теперь находим сторону основания:
а = h/cos30° = 6√5/(√3/2) = 12√5/√3 = 4√15.
Площадь АВС как равностороннего треугольника равна So = a²√3/4 =
= 16*15√3/4 = 4*15√3 = 60√3.
Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*60√3*4√5 = 80√15 ≈ 309,8387 куб.ед.