Треугольники АОС и ВОД равны, т.к. ОД=ОС, ОВ=АО и углы 1 и 2 вертикальные. Треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. А в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Против стороны ОД лежит угол 3, а против стороны СО лежит угол 4. Стороны равны, значит и углы тоже равны. Но углы 3 и 4 являются накрест лежащими при прямых АС и ВД и секущей АВ. А если при пересечении двух прямых третьей окажется, что какие-нибудь накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны. Значит, прямые АС и ВД параллельны.
№2) Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О , которая является серединой каждого из них. а) Докажите, что ΔАОС = ΔBOD. б) Найдите ∠ОАС ,если ∠ОDB = 20°,∠АОС = 115°.
а) АО = ОС по условию, ВO = OD по условию, ∠АОС = ∠BOD как вертикальные, ⇒ ΔАОС = ΔBOD по двум сторонам и углу между ними.
б) ∠ОСА = ∠ODB = 20°, так как в равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы. В ΔАОС: ∠ОАС = 180° - (∠АОС + ∠ОСА) = 180° - (115° + 20°) = 180° - 135° = 45°
№3) В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника.
Формулировка "одна из сторон треугольника равна 16 см" предполагает, что будут рассмотрены два случая: а) Пусть 16 см - основание равнобедренного треугольника. Тогда боковая сторона равна (64 - 16)/2 = 24 см б) Боковая сторона 16 см не может быть равна, так как тогда основание равно 64 - 2 · 16 = 32 см, а любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других.
№1) В треугольнике АВС высота ВD делит ∠В на два угла,причем ∠АВD = 40°, ∠СВD = 10°. а) Докажите, что ΔАВС - равнобедренный, и укажите его основание. б) Высоты данного треугольника пересекаются в точке О. Найдите ∠ВОС.
а) ∠АВС = ∠ABD + ∠CBD = 40° + 10° = 50° В ΔBDA ∠BAD = 180° - 90° - 40° = 50°. Так как ∠АВС = ∠ВАС, треугольник равнобедренный с основанием ВА. б) ΔBCD: ∠BCD = 90° - ∠DBC = 90° - 10° = 80°. В равнобедренном ΔАВС высота СН является так же и биссектрисой, значит ∠ВСО = ∠BCD/2 = 80°/2 = 40°. ΔВСО: ∠ВОС = 180° - ∠ВСО - ∠СВО = 180° - 40° - 10° = 130°
№2 Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого их них. а) Докажите равенство треугольников АСВ и ВDА. б) Найдите ∠АСВ,если ∠СВD = 68°.
а) АО = ОВ по условию, BO = OD по условию, ∠АОС = ∠BOD как вертикальные, ⇒ ΔАОС = ΔBOD по двум сторонам и углу между ними, ⇒ АС = BD.
АО = ОВ по условию, BO = OD по условию, ∠АОD = ∠BOC как вертикальные, ⇒ ΔАОD = ΔBOС по двум сторонам и углу между ними, ⇒ AD = ВС.
АС = BD, AD = ВС, АВ - общая сторона для треугольников АСВ и BDA, ⇒ ΔАСВ = ΔBDA по трем сторонам.
б) Из равенства треугольников ΔАОС = ΔBOD равны углы, обозначенные цифрами 1 и цифрами 3. Из равенства треугольников ΔАОD = ΔBOС равны углы, обозначенные цифрами 2 и цифрами 4. ∠CBD = 68°, тогда в ΔCBD ∠3 + ∠4 = 180° - 68° = 112°. ∠АСВ = ∠3 + ∠4 = 112°
№3 Две стороны треугольника равны 0,9 см и 4,9 см. Найдите длину третьей стороны, если она выражается целым числом сантиметров.
Обозначим третью сторону а. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон: 0 < a < 5,8 0,9 < a + 4,9 4,9 < a + 0,9, ⇒ a > 4 Значит, 4 < a < 5,8. На этот промежуток попадает только одно целое число: 5. а = 5.
ответ: 1.СА , AD=DC
Объяснение: