Втреугольнике abc отмечены середины m и nсторон bc и acсоответственно. площадь треугольника cnm равна 36. найдите площадь четырёхугольника abmn.
Диагональ, скорее всего, ВЕ, так как DE - сторона.
Для наглядности я проведу ВСЕ диагонали пятиугольника. Получилась звезда. Из правильности пятиугольника сразу следует, что все стороны этой звезды равны между собой (при повороте пятиугольника на угол 360/5, 2*360/5 и так далее звезда совпадает сама с собой, поэтому и равны все её стороны*). АО - одна из сторон этой звезды. Обозначим её длину х.
Обозначим М - точку пересечения AD и ЕС (напомню еще раз: О - точка пересечения AD и ЕВ, а не ED, как НЕ ВЕРНО сказано в условии).
Рассмотрим треугольник ЕАМ. В нем ЕМ = ЕО = АО = х. ЕО - биссектриса угла АЕМ, поскольку дуги АВ и ВС равны, а углы АЕВ и ВЕС вписанные, и опираются на них.
Кроме того, дуга АЕ равна дуге ВС, следовательно, АВ параллельно ЕС, и - поэтому АМСВ - ромб ( параллелограмм с равными соседними сторонами).
Итак, АМ = АВ = а (по условию а = 2);
Теперь все элементарно. Из свойства биссектрисы МО/АО = МЕ/АЕ, то есть
(a - x)/x = x/a;
x^2 - a*x - a^2 = 0;
x = a*(1 + √5)/2; (отрицательное решение отброшено).
ответ АО = 1 + √5
*Есть еще зеркальная симметрия относительно ВМ, и других таких прямых, которые проходят через вершину пятиугольника перпендикулярно противоположной стороне. Поэтому равны соседние стороны звезды.
Замечание. Треугольник ЕАМ имеет угол при вершине 36 градусов (в радианах π/5) , а углы при основании ЕМ - по 72 градуса (в радианах 2*π/5). Ясно, что x/(2*a) - это косинус угла при основании, то есть
cos(2*π/5) = (1 + √5)/4 = sin(π/10);
Таким образом, вычислены в радикалах функции углов, кратных π/10 = 18 градусам (получить остальные не трудно из тригонометрических формул).
Я не уточнял все это, потому что это было не нужно для решения. :))))
1) Пусть одна сторона параллелограмма х см, другая больше на 4 см, т.е. (х+4) см. Сумма всех сторон х + (х+4) + х + (х + 4) равна периметру 24. Составляем уравнение х + (х+4) + х + (х + 4) = 24 4х + 8 = 24 4х = 24 - 8 4х = 16 х = 4 (х + 4 ) = 4 + 4 = 8 ответ 4 см и 8 см. 2) меньше на 6 см. Пусть одна сторона параллелограмма х см, другая меньше на 6 см, т.е. (х - 6) см. Сумма всех сторон х + (х - 6) + х + (х - 6) равна периметру 24. Составляем уравнение х + (х - 6) + х + (х - 6) = 24 4х - 12 = 24 4х = 24 + 12 4х = 36 х = 9 (х - 6 ) = 9 - 6 = 3 ответ 3см и 9 см. 3) Пусть одна сторона параллелограмма х см, другая в 3 раза больше , т.е. (3х) см. Сумма всех сторон х + (3х) + х + (3х) равна периметру 24. Составляем уравнение х + (3х) + х + (3х) = 24 8х = 24 х = 3 3х = 9 ответ 3 см и 9 см.
Диагональ, скорее всего, ВЕ, так как DE - сторона.
Для наглядности я проведу ВСЕ диагонали пятиугольника. Получилась звезда. Из правильности пятиугольника сразу следует, что все стороны этой звезды равны между собой (при повороте пятиугольника на угол 360/5, 2*360/5 и так далее звезда совпадает сама с собой, поэтому и равны все её стороны*). АО - одна из сторон этой звезды. Обозначим её длину х.
Обозначим М - точку пересечения AD и ЕС (напомню еще раз: О - точка пересечения AD и ЕВ, а не ED, как НЕ ВЕРНО сказано в условии).
Рассмотрим треугольник ЕАМ. В нем ЕМ = ЕО = АО = х. ЕО - биссектриса угла АЕМ, поскольку дуги АВ и ВС равны, а углы АЕВ и ВЕС вписанные, и опираются на них.
Кроме того, дуга АЕ равна дуге ВС, следовательно, АВ параллельно ЕС, и - поэтому АМСВ - ромб ( параллелограмм с равными соседними сторонами).
Итак, АМ = АВ = а (по условию а = 2);
Теперь все элементарно. Из свойства биссектрисы МО/АО = МЕ/АЕ, то есть
(a - x)/x = x/a;
x^2 - a*x - a^2 = 0;
x = a*(1 + √5)/2; (отрицательное решение отброшено).
ответ АО = 1 + √5
*Есть еще зеркальная симметрия относительно ВМ, и других таких прямых, которые проходят через вершину пятиугольника перпендикулярно противоположной стороне. Поэтому равны соседние стороны звезды.
Замечание. Треугольник ЕАМ имеет угол при вершине 36 градусов (в радианах π/5) , а углы при основании ЕМ - по 72 градуса (в радианах 2*π/5). Ясно, что x/(2*a) - это косинус угла при основании, то есть
cos(2*π/5) = (1 + √5)/4 = sin(π/10);
Таким образом, вычислены в радикалах функции углов, кратных π/10 = 18 градусам (получить остальные не трудно из тригонометрических формул).
Я не уточнял все это, потому что это было не нужно для решения. :))))