Дан ромб с острым углом α = 30° и радиусом вписанной окружности r = 3 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом β = 60°.
В ромбе радиус вписанной окружности связан непосредственно со стороной через синус угла α. Сам радиус по определению представляет собой половину высоты ромба, которая равна стороне ромба, умноженной на синус угла α из образованного прямоугольного треугольника.
Высота в таком случае получается равна двум радиусам.
2r = a sinα.
Отсюда находим сторону а ромба и его периметр Р:
а = 2r/sinα = 2*3/0,5 = 12 см.
Р = 4а = 4*12 = 48 см.
Находим апофему А:
А = r/cos β = 3/cos 60° = 3/0,5 = 6 см.
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*48*6 = 144 см².
Обозначим пирамиду MABCD, МО - высота пирамиды, МН - высота боковой грани.
Так как все грани наклонены к основанию под одинаковым углом, высоты граней равны между собой и их проекции равны радиусу вписанной в основание окружности.
МН=ОН:cos∠МНО=3•cos60°=6.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней или произведению высоты грани на полупериметр основания, что то же самое.
Рассмотрим основание ABCD пирамиды MABCD.
Диаметр вписанной в ромб окружности равен высоте этого ромба. Радиус вписанной окружности по условию равен 3.
d=КВ=2r=6
Высота DH=d=6
DH⊥АВ, противолежит углу 30°⇒сторона ромба АВ=2•DH=12
Периметр ромба 12•4=48.
Ѕ(бок)=МН•Р:2=6•48:2=144 (ед. площади)
3+3+х=30
х=24