Question

Какое соотношение стороны правильного треугольника вписаного в круг, к стороне правильного треугольника который описаный вокруг этого круга

Answer 1

Формулы смотри на фото.

Answer 2

(1)Площадь вписанного треугольника в круг:
$S= \frac{3 \sqrt{3} R^2}{4}$
(2)Площадь правильного треугольника:
$S= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}$
(3)Площадь треугольника, описанный вокруг круга:
$S=Rp \\ p= \frac{a+b+c}{2}= \frac{3a}{2} \\ S= \frac{3Ra}{2}$
Для того, чтобы найти сторону прав. треугольника, мы сравниваем две формулы: стандартную для прав. треугольника и площадь треугольника в круге, около в круге. То есть: 1 - (1):(2). 2 - (3):(2)
$\frac{3 \sqrt{3} R^2}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \\ a^2= \frac{3 \sqrt{3}R^2*4 }{4* \sqrt{3} } =3R^2 \\ a=R \sqrt{3}$
$\frac{a^2 \sqrt{3} }{4} = \frac{3Ra}{2} \\ \frac{a \sqrt{3} }{2} = \frac{3R}{1} \\ a= \frac{6R}{ \sqrt{3} }$
Находим соотношение:
$R \sqrt{3}:\frac{6R}{ \sqrt{3} }= \frac{R* \sqrt{3} * \sqrt{3} }{6R} = \frac{3}{6}= \frac{1}{2}$