рассмотрим треугольники abc и a1b1c1, у которых ав = a1b1, ас = a1c1 ∠ а = ∠ а1 (см. рис.2). докажем, что δ abc = δ a1b1c1.
так как ∠ а = ∠ а1, то треугольник abc можно наложить на треугольник а1в1с1 так, что вершина а совместится с вершиной а1, а стороны ав и ас наложатся соответственно на лучи а1в1 и a1c1. поскольку ав = a1b1, ас = а1с1, то сторона ав совместится со стороной а1в1 а сторона ас — со стороной а1c1; в частности, совместятся точки в и в1, с и c1. следовательно, совместятся стороны вс и в1с1. итак, треугольники abc и а1в1с1 полностью совместятся, значит, они равны.
Площадь треугольника равна половине векторного произведения двух векторов, выходящих из одной точки.
Вектор АВ (2; 1; -2).
Вектор АС (-5; -4; 4).
Векторное произведение a × b =
= {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}=
= ((4-8);(10-8); (-8-(-5))) = (-4; 2; -3).
Модуль ахв = √((-4)²+2²+(-3)²) = √(16+4+9) = √29 ≈5,3851648.
Площадь равна (а*в)/2 = 5,385165/2 = 2,6925825.
Условие перпендикулярности векторов:
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение
xaxb + yayb + zazb= 0.
AB(2;1;-2).
СД(-2;2;-1). 2*(-2)+1*2+(-2)*(-1) = -4+2+2 = 0.
Но длина высоты равна удвоенной площади треугольника, делённой на сторону.
Для этого находим длину стороны АВ:
АВ = √(2²+1²+(-2)²) = √(4+1+4) = √9 = 3.
СД = 2S/AB = 2*2,6925825/3 = 1,7950549.