Если посмотрите на чертеж, то всё довольно прозрачно.
Нам фактически задана СН (это 1/2 - 1/3 = 1/6 от длины хорды), а ОН легко вычислить, она равна 3 ( тр-к АНО прямоугольный со сторонами 5, 4, и, конечно, 3);
Из рисунка понятно, как составить уравнение на радиус окружности.
O1K II AB, O1CHK - прямоугольник. О1ОК и есть треугольник (прямоугольный), из которого находится r. Причем уравнение получается даже не квадратное - вторая степень r сокращается.
(R - r)^2 = CH^2 + (r + OH)^2;
R^2-2*R*r = CH^2 + OH^2 +2*OH*r; Любопытно, что СН^2 + OH^2 = OC^2;
r = (1/2)*(R^2 - OC^2)/(R+OH). Это уже ответ. Давайте вычислим.
СH = 8/6 = 4/3; OH = 3; OC^2 = OH^2 + CH^2 = 16/9 + 9; R + OH = 8;
r = (1/2)(25 - 9 - 16/9)/8 = 16*(1- 1/9)/16 = 8/9
Можно ввести более общий случай, если заданы R, расстояние ДО хорды H и расстояние X от СЕРЕДИНЫ хорды до точки касания малой окружностью.
Тогда
r = (1/2)(R^2 - X^2 - H^2)/(R+H);
Опять таки, X^2 + H^2 = CO^2 (квадрат расстояния от центра большой окружности до точки касания)
Теорема
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠ A = ∠ A1, AB = A1B1, AC = A1C1.
Пусть есть треугольник A1B2C2 – треугольник равный треугольнику ABC, с вершиной B2, лежащей на луче A1B1, и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина С1.
Так как A1B1=A1B2, то вершины B1 и B2 совпадают.
Так как ∠ B1A1C1 = ∠ B2A1C2, то луч A1C1 совпадает с лучом A1C2.
Так как A1C1 = A1C2, то точка С1 совпадает с точкой С2. Следовательно, треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.
Периметр ABK P=AB+BK+AK;
Периметр ABC=AB+AC+BC=AB+AK+KB+BC=2AB+2AK=2(AB+AK)=2(Pabk-BK)=2(16-5)=2*11=22 см
Задача 2
Т.к. AB=BC, AF=EC=AB/2=BC/2;
Рассмотрим треугольники AFC и CEA
Они равны по двум сторонам (AF=EC и AC - общая) и углу между ними (EAC=FCA)
Тогда углы EAC=FCA.
Значит, угол BAE=BAC-EAC=BCF
Углы FMA=EMC, как вертикальые
Тогда углы AFM=180-FMA-FAM=MEC
Значит, треугольники AFM=EMC по стороне (EC=AF) и двум прилежащим к ней углам (AFM=MEC и FAM=ECM)
Тогда AM=MC => треугольник AMC - равнобедренный