Найдите координаты точек , которые симметричны точке А(4;5)
г) относительно точки S(5;1) ; д) относительно прямой у=3
Объяснение:
г) " Симметрией относительно точки или центральной симметрией относительно точки О называется преобразование плоскости , переводящее точку А в точку А1, что О - середина отрезка АА1 "
Поэтому , точка S -середина АА1 , где А1(х;у)-симметричная точка.
По формулам х=(х₁+х₂):2 ,у=(у₁+у₂):2 , где (х₁;у₁), (х₂;у ₂) -координаты концов отрезка , (х;у ), -координаты середины , получаем
5=(4+х₂):2 , 1=(5+у₂):2 ;
10=4+х₂ , 2=5+у₂ ;
х₂=6 , у₂=-3 ;
А2(6; -3).
д) у(А)=5 , значит расстояние от точки А до прямой у=3 равно 5-3=2 .
Поэтому расстояние от прямой до точки А1 должно быть тоже 2. Абсцисса ,симметричной точки, сохраняется. Значит координаты А1(4;2)
Пусть A' – середина дуги BC. Так как OA' || IA2, прямые OI и A'A2 пересекаются в точке K – центре гомотетии описанной и вписанной окружностей (см. рис.). Докажем, что K – искомый радикальный центр.
Первый Так как инверсия с центром A' и радиусом A'B меняет местами прямую BC и описанную окружность Ω треугольника ABC, точка A1 переходит в A, а A2 – в точку A'' пересечения прямой A'A2 с описанной окружностью. Следовательно, точки A, A1, A2 и A'' лежат на одной окружности.
Степень точки K относительно описанной окружности треугольника AA1A2 равна – KA2·KA'' = – r/R AA'·KA'' = r/R s(K), где s(K) – степень точки K относительно Ω.
Очевидно, степени точки K относительно описанных окружностей треугольников BB1B2 и CC1C2 будут такими же, то есть K – радикальный центр трёх окружностей.
Второй Пусть A', B', C' – середины дуг BC, CA, AB. Тогда треугольник A'B'C' переводится в A2B2C2 гомотетией с коэффициентом r/R и центром K, то есть KA2 : A'A2 = KB2 : B'B2 = KC2 : C'C2 = k : 1. Для точек прямой A'A2 разность степеней относительно описанной окружности треугольника AA1A2 и вписанной окружности треугольника ABC является линейной функцией. В точке A2 эта функция равна нулю,
а в точке A' – r², поскольку A'A1·A'A = A'B² = A'I² (первое равенсто следует из подобия треугольников A'A1B и A'BA, а второе – из леммы о трезубце – см. задачу 53119). Значит, в точке K эта разность равна – kr². Другие аналогичные разности в точке K также равны – kr², откуда и следует требуемое
Пусть ∠В=х
х+х+20+2х=180°
4х=180-20=160°
х=160:4=40°
х+20=40+20=60°
2х=40*2=80°
ответ: ∠А=60°, ∠В=40°, ∠С=80°
#2
3+7+8=18 частей, из которых М составляет 3 части, N составляет 7 частей, а К - 8 частей.
180:18=10° - одна часть
10*3=30°
10*7=70°
10*8=80°
ответ: ∠М=30°, ∠N=70°, ∠К=80°
#3.
сумма всех углов равна 180°
Пусть ∠К=х
х+х+20+90=180°
2х=180-20-90=70°
х=70:2=35°
х+20=35+20=55°
ответ: ∠К=35°, а ∠F=55°
#4.
Если АВ=ВС, значит этот треугольник равнобедренный.
Тут 2 варианта: либо один из углов, который равен 77°, - вершина треугольника, то есть ∠В, либо это один из углов при основании, а углы при основании равны.
Первый вариант:
пусть ∠С=х
х+х+77=180°
2х=180-77=103°
х=51,5°
ответ: ∠А=51,5°, ∠В=77°, ∠С=51,5°
Второй вариант:
пусть ∠В=х
Тогда ∠А=∠С=77°
х+77+77=180°
х=180-77-77=26°
ответ: ∠А=77°, ∠В=26°, ∠С=77°