В трапеции ABCD (AD II BC) биссектриса угла ABC пересекает среднюю линию в точке P. Докажите, что угол APB = 90 градусов. -- Биссектриса делит угол АВС пополам. Пусть она пересекает АД в точке К. Угол СВК равен углу ВКА как накрестлежащий. Но СВК=АВК по условию ⇒ углы пи ВК равны, и треугольник ВАК - равнобедренный. Средняя линия трапеции является и средней линией треугольника АВК и делит стороны пополам. ВР=РК.⇒ АР - медиана треугольника ВАК. Так как в равнобедренном треугольнике медиана является и биссектрисой, и высотой, АР - выстоа, перпендикулярна ВК и угол АРВ=90º
На координатной плоскости взят треугольник с вершинами A(0, 0) B(3√3/2, 3/2) C(3, 0) это равносторонний треугольник со стороной 3. Точки M(1, 0) N(√3, 1); удовлетворяют условию. Прямая BM имеет уравнение y = 3√3(x - 1) (Я не буду объяснять, как составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Поскольку через две точки можно провести только одну прямую, достаточно проверить, что уравнению удовлетворяют обе точки, в данном случае y = 0 при x = 1 и y = 3√3/2 при x = 3/2;) Прямая CN имеет уравнение y = (√3/2)(3 - x); (при x = 1 y = √3) Точка пересечения этих прямых P(p,q) находится так √3(3 - p)/2 = 3√3(p - 1); p = 9/7; q = 6√3/7; q/p = 2/√3; Поскольку тангенсы угла наклона прямых AP 2/√3 и CN -√3/2 при умножении друг на друга дают -1, прямые эти взаимно перпендикулярны.
