1. АВ пересекает Окр(O;r) = D
2. ВС и ВА, СА и СВ, АС и АВ - касательные к окружности.
По свойству касательных (если из некотрой точки S проведены две касательные a и b к окружности, то отрезки касательных от точки S до точек касания А и В равны) BM=BD, КС=CM, AK=AD
2. Катет СВ=СМ+ВМ=4+8=12
3. Выразим отрезки касательных АК и АD через х.
Катет АС=КС+х, КС=4+х гипотенуза АВ=ВD+х, АВ=8+х
4. По теореме Пифагора:
АВ² = АС² + СВ²
(8+х)² = (4+х)² + 12²
64+16х + х² = 16 + 8х + х² + 144
16х + х² - 8х - х² = 16 + 144 - 64
8х = 96
х = 12
Следовательно, АК=12
ответ: АК=12
уравнение прямой прилежащего катета в параметрическом виде
x=5+6t; y=7+4t
отсюда
12t=(x-5)*2=(y-7)*3
уравнение в стандартном виде
2x-3y+11=0
вершина прямого угла: точка пересечения прямых катетов
2x-3y+11=0, 6x+4y-9=0
решаем систему
y=42/13, x=-17/26
пусть C(-17/26;42/13), A(5;7)
тогда CA(147/26;49/13)
вектор CB будет перпендикулярен CA и равен ему по длине, поэтому
CB(49/13;-147/26) или CB(-49/13;147/26)
тогда B(81/26;-63/26) или B(-115/26;231/26) (два ответа)
осталось составить два возможных уравнения прямых гипотенузы AB по двум точкам ну это уже совсем просто