Question

Только без синусов всяких, их мы не найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 5 см, а угол между диагоналями равен 60 градусов.

Answer 1

Задача имеет два ответа в зависимости от того, какая из сторон равна 5 см - большая или меньшая.
Пусть ABCD - рассматриваемый прямоугольник. O - точка пересечения диагоналей. ∠AOB равен 60°.
Рассмотрим треугольник AOB. AO=BO, так как O - точка пересечения диагоналей, AO и BO - половины диагоналей. Это значит, что треугольник AOB равнобедренный, то есть углы при основании равны (∠ABO=∠BAO).Поскольку ∠AOB=60°, ∠ABO+∠BAO=180°-60°=120°. Следовательно, ∠ABO=∠BAO=60°. Таким образом, треугольник AOB является равносторонним, то есть AB=BO=AO. Обозначим AB=x.
Рассмотрим треугольник BOC. Это тоже равнобедренный треугольник, так как BO=OC, но не равносторонний. Из вершины O проведем высоту OH на сторону BC. Так как треугольник равнобедренный, то высота отсечет половину основания, то есть точка H будет серединой отрезка BC.
Рассмотрим треугольник BOH. Это прямоугольный треугольник, так как ∠BHO=90°, поскольку OH⊥BC. Обозначим как M середину отрезка AB. Окажется, что BM = x/2 = OH, поскольку получившийся четырехугольник BMOH - прямоугольник, а BM и OH в нем - противолежащие стороны.
Тогда, по т. Пифагора, из треугольника BOH: BH²=BO²-OH²=x²-(x/2)²=3x²/4. Отсюда BH = x√3/2, а BC = 2*BH=x√3.
Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна S=AB*BC=x*x√3=x²√3.
Вернемся к вопросу, какая из сторон равна 5 см.
1) AB=5 см. Тогда S=(5 см)²*√3=25√3 см².
2) BC=5 см = x√3 => x=5/√3 см
S = (5/√3 см)²*√3=25√3/3 см²
ответ: 25√3 см² или 25√3/3 см²