Question

На стороне треугольника авс отмечена точка d, прямая сd перпендикулярна к медиане ам, аd: dв=3: 1. ac=3. угол с=60, найдите вс

Answer 1

Пусть P - точка пересечения AM  и CD; и пусть BP пересекает AC в точке Q;
тогда из теоремы Чевы сразу следует
AQ/QC = AD/DB = 3;
из теоремы Ван-Обеля (следствие теоремы Чевы)
AP/PM = AD/DB + AQ/QC = 6;
Получилось, что в треугольнике CAM 1) угол С = 60°; 2) высота CP делит сторону AM на отрезки в отношении 6:1; 3) AC = 3; этого достаточно, чтобы решить задачу.
Если для краткости записи обозначить CP = h; MP = z; MC = y; AC = a = 3; то легко записать очевидные соотношения
y^2 = z^2 + h^2;
a^2 = (6*z)^2 + h^2;
(7*z)^2 = y^2 + a^2 - a*y; (это просто теорема косинусов, косинус 60° равен 1/2; напоминаю, что a = 3)
вычитая из второго уравнения первое, легко найти
a^2 - y^2 = 35*z^2;
остается исключить z, подставить a = 3; и получится квадратное уравнение для y; напомню, что ВС = 2*y;
(y^2 + a^2 - a*y)/49 = (a^2 - y^2)/35;
5*y^2 + 5*a^2 - 5*a*y = 7*a^2 - 7*y^2;
12*y^2 - 2*a^2 - 5*a*y = 0;
12y^2 - 15*y - 18 = 0; или BC^2 - (5/2)*BC - 6 = 0;
BC = 5/4 + √((5/4)^2 + 6) = (5 + √(25 + 16*6))/4 = (5 + 11)/4 = 4; (второй корень отпадает)