Можно пристроить к кубу ABCDA1B1C1D1 другой такой же куб следующим образом. Продлим ребра А1А, В1В, С1С, D1D за точки А,В,С,D. на длину ребра куба и через полученные точки A2,B2,C2,D2 проведем плоскость II АВС. Ясно, что я просто "приставил снизу" еще один куб, идентичный исходному.
Очевидно, что А2С II AC1, поэтому угол между СЕ и АС1 равен углу А2СЕ.
Замкнем треугольник А2СЕ, проведя А2Е в плоскости А2А1D1D2.
В треугольнике А2СЕ очень просто вычисляются все стороны.
A2C = √3; (это - диагональ куба, ребро принимаем за единицу длины, то есть ребро куба 1).
из прямоугольного тр-ка А2ЕD2 с катетами A2D2 = 1; D2E = 3/2; находим
А2Е = √(1^2+(3/2)^2) = √13/2;
аналогично из треугольника DCE
CЕ = √(1 + (1/2)^2) = √5/2;
Обозначим косинус угла А2СЕ как х. По теореме косинусов
13/4 = 3+5/4 - x*2*√(5*3)/2;
x = 1/√15 = √15/15; это - косинус искомого угла.
АВ = в, АД = а.
По условию 2а+2в = 36 или а+в = 18. Тогда в = 18 - а.
Опустим высоты из точки В на сторону АД - (h1) и из точки С на АВ (её продолжение) - (h2).
h1 = b*sin A = (18-a)*sin A, h2 = a*sin A.
h1/h2 = (18-a)*sin A/(a*sin A) = (18-a)/a.
Получили пропорцию, из которой следует:
h1*a = h2*(1/-a).
Подставим значения:
4а = 90-5а
9а = 90
а = 90/9 = 10 см
в = 18-10 = 8 см.