М
Молодежь
К
Компьютеры-и-электроника
Д
Дом-и-сад
С
Стиль-и-уход-за-собой
П
Праздники-и-традиции
Т
Транспорт
П
Путешествия
С
Семейная-жизнь
Ф
Философия-и-религия
Б
Без категории
М
Мир-работы
Х
Хобби-и-рукоделие
И
Искусство-и-развлечения
В
Взаимоотношения
З
Здоровье
К
Кулинария-и-гостеприимство
Ф
Финансы-и-бизнес
П
Питомцы-и-животные
О
Образование
О
Образование-и-коммуникации
Alinakamisarova
Alinakamisarova
19.02.2023 07:32 •  Геометрия

Втреугольнике mnk с углом m равным 120 градусов проведены биссектрисы mm1,nn1,kk1. докажите, что треугольник m1n1k1 прямоугольный.

👇
Ответ:
Alex1t0
Alex1t0
19.02.2023
Эту задачу я решал 100 лет назад, и как тогда, так и сейчас, совсем простого решения не нашел.

С разрешения уважаемого автора задачи введу свои обозначения. ΔABC, ∠ABC=120°, биссектрисы AA_1, BB_1, CC_1;
AB=c, BC=a,CA=b; CA_1=m, BA_1=n, CB_1=k

Для решения нам понадобятся следующие факты (подозреваю только, что в начальной школе они не проходятся. Но может быть я отстал от жизни :-))

1. Биссектриса в треугольнике делит сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам. Более того, эти отрезки несложно выразить через стороны. Так, m=(ab)/(b+c); n=(ac)/(b+c);
k=(ba)/(a+c) (когда-нибудь я научу Вас, как писать эти формулы не только без неприязни, но с улыбкой на устах).

2. Обратный факт: если отрезок, соединяющий вершину с какой-то точкой противоположной стороны, делит сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам, то он является биссектрисой.

3. Длина биссектрисы (скажем BB_1) может быть вычислена по формуле
                            BB_1=(2cos (B/2)ac)/(a+c).

В частности, если угол B равен 120°, эта формула превращается в
BB_1=(ac)/(a+c).

Переходим к непосредственному решению.

AA_1 - биссектриса⇒m/n=b/c

BB_1=(ac)(a+c)

Соединим точки B_1 и A_1. докажем, что B_1A_1 - биссектриса угла BB_1C. для этого достаточно доказать, что m/n=k/BB_1.

В самом деле, k/BB_1=((ba)/(a+c))/(ac/(a+c))=b/c.
Но ведь и m/n=b/c! Значит, мы доказали, что B_1A_1 - биссектриса угла BB_1C.
Точно так же получается, что B_1C_1 - биссектриса угла BB_1A.

Осталось сослаться на то, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Итак, угол A_1B_1C_1 - прямой.

Замечание. Можно доказательство провести совсем по-другому, и намного быстрее. Но как показывает мой опыт, самостоятельно выйти на второй намного сложнее, чем на первый.

Итак, второй

Продолжим сторону AB за вершину B; поставим где-нибудь там точку D. Угол CBD равен 180°-120°=60°⇒BC является биссектрисой угла DBB_1, то есть внешнего угла треугольника ABB_1. Эта биссектриса пересекается с BC в точке A_1⇒ биссектриса еще одного внешнего угла треугольника ABB_1 - угла BB_1C - проходит через ту же точку A_1. Вот мы и доказали требуемое.

за то, что напомнили про те времена, когда такие задачи были мне в новинку. Надеюсь, что Вы получили удовольствие от обоих доказательств. Искренне Ваш
4,7(54 оценок)
Открыть все ответы
Ответ:
петро27
петро27
19.02.2023
1) Сумма всех четырёх углов, которые образуются при пересечении двух прямых = 360°, причём противолежащие друг другу углы равны.
   360° - 325° = 35° -  это четвёртый угол. Вертикальный (противоположный) ему угол входит в сумму трёх углов и  = 35°
2) (325 - 35) = 290°- сумма двух равных больших углов
3)  290° : 2 = 145°
ответ: 145° - величина большего угла.

Чертёж:
                                  \                                    ∠4 = ∠2 (как вертикальные)
                                    \                                   ∠1 = ∠3 (как вертикальные
            4_\_1            ∠1 +∠2 + ∠3 = 325°
                                3      \  2
                                          \
                                            \
4,4(72 оценок)
Ответ:
verunyabogachk
verunyabogachk
19.02.2023
1) Сумма всех четырёх углов, которые образуются при пересечении двух прямых = 360°, причём противолежащие друг другу углы равны.
   360° - 325° = 35° -  это четвёртый угол. Вертикальный (противоположный) ему угол входит в сумму трёх углов и  = 35°
2) (325 - 35) = 290°- сумма двух равных больших углов
3)  290° : 2 = 145°
ответ: 145° - величина большего угла.

Чертёж:
                                  \                                    ∠4 = ∠2 (как вертикальные)
                                    \                                   ∠1 = ∠3 (как вертикальные
            4_\_1            ∠1 +∠2 + ∠3 = 325°
                                3      \  2
                                          \
                                            \
4,5(45 оценок)
Это интересно:
Новые ответы от MOGZ: Геометрия
logo
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси Mozg
Открыть лучший ответ