Question

Втреугольнике abc ac= bc, k - точка пересечения биссектрис треугольника, а o - точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. отрезок ok пересекает сторону ab в точке e и точкой пересечения делится пополам. найдите углы треугольника abc.

Answer 1

В треугольнике ABC AC= BC, K - точка пересечения биссектрис треугольника, а O - точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Отрезок OK пересекает сторону AB в точке E и точкой пересечения делится пополам. Найдите углы треугольника ABC.

------

Точка К равноудалена от сторон треугольника, поэтому является центром вписанной окружности. 

Точка О - равноудалена от вершин треугольника и является центром описанной окружности. Точка К лежит на высоте и медиане  к АВ ( на срединном перпендикуляре), точка О лежит на срединном перпендикуляре к АВ, поэтому С, К, Е и О принадлежат одной прямой СО. 

Т.к. отрезок КО пересекает АВ, точка О расположена вне треугольника. 

Высота и медиана СЕ ⊥ АВ и делит его пополам. 

Соединим точки К и О с вершинами А и В. 

В получившемся четырехугольнике АКВО отрезки АЕ=ВЕ, КЕ=ОЕ. 

Треугольники, на которые КО и АВ делят этот четырехугольник, прямоугольные и равны по двум катетам. 

Следовательно, АК=ВК=ВО=АО, и АКВО - ромб.  АВ - его диагональ и делит его углы пополам. 

Пусть ∠ЕАО=α, тогда ∠КАЕ=α, а, так как  АК - биссектриса угла САВ, то ∠САК=∠ЕАК,  и ∠САЕ=2α.

∆СОА - равнобедренный ( по условию ОА=ОС=ОВ).

∠ОСА=∠ОАС=3α. 

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

В ∆ СЕА ∠САЕ+∠АСЕ=5α. 

5α=90°, откуда α=90°:5=18°

∠САВ=∠СВА=2•18°=36°

∠АСВ=180°-2•36°=108°.